第 31742 題：最大公因數與互質

原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-common-divisor-audit；資料={"a":100,"b":120,"d":1}。請依 [a,b,d,d|a,d|b,d_is_gcd,gcd,valid] 的欄序回答。

• G001 — 自然數gcd。操作=gcd-common-divisor-audit；資料={"a":100,"b":120,"d":1}。請依 [a,b,d,d|a,d|b,d_is_gcd,gcd,valid] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gcd-coprime

逐步推導

source roles = [qf-ext18-gcd-common-divisor-audit, Nat_gcd, gcd-common-divisor-audit, no-form-field]

derived = [[a, b, d, divides_a, divides_b, equals_gcd, gcd, common_AND_gcd]]

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(0, 120)

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 0

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(100, 0)

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 100

source roles = [100, 120, 0]

derived = [0, 100, [100, 120, 100]]

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 100)

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 100

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(120, 100)

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 20

source roles = [120, 100, 1]

derived = [100, 20, [120, 100, 20]]

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(5, 20)

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 100

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(100, 100)

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 0

source roles = [100, 20, 5]

derived = [100, 0, [100, 20, 0]]

source roles = [100, 120, [[100, 120, 100], [120, 100, 20], [100, 20, 0]]]

derived = [20, 0]

GCD candidate divides a ORIGINAL exact multiplier := div(100, 1)

GCD candidate divides a ORIGINAL exact multiplier = 100

source roles = [GCD candidate divides a, 1, 100]

derived = [是, 100]

GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier := div(120, 1)

GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier = 120

source roles = [GCD candidate divides b, 1, 120]

derived = [是, 120]

source roles = [100, 120, 1, 20]

derived = [是, 是, 否, 20, 否]

逐步反向核對

• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD candidate divides a ORIGINAL exact multiplier，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

(100, 120, 1, 是, 是, 否, 20, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。