第 31744 題：最大公因數與互質

原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-common-divisor-audit；資料={"a":108,"b":132,"d":12}。請依 [a,b,d,d|a,d|b,d_is_gcd,gcd,valid] 的欄序回答。

• G001 — 自然數gcd。操作=gcd-common-divisor-audit；資料={"a":108,"b":132,"d":12}。請依 [a,b,d,d|a,d|b,d_is_gcd,gcd,valid] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gcd-coprime

逐步推導

source roles = [qf-ext18-gcd-common-divisor-audit, Nat_gcd, gcd-common-divisor-audit, no-form-field]

derived = [[a, b, d, divides_a, divides_b, equals_gcd, gcd, common_AND_gcd]]

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(0, 132)

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 0

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(108, 0)

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 108

source roles = [108, 132, 0]

derived = [0, 108, [108, 132, 108]]

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 108)

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 108

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(132, 108)

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 24

source roles = [132, 108, 1]

derived = [108, 24, [132, 108, 24]]

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(4, 24)

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 96

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(108, 96)

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 12

source roles = [108, 24, 4]

derived = [96, 12, [108, 24, 12]]

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y := mul(2, 12)

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y = 24

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy := sub(24, 24)

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy = 0

source roles = [24, 12, 2]

derived = [24, 0, [24, 12, 0]]

source roles = [108, 132, [[108, 132, 108], [132, 108, 24], [108, 24, 12], [24, 12, 0]]]

derived = [12, 0]

GCD candidate divides a ORIGINAL exact multiplier := div(108, 12)

GCD candidate divides a ORIGINAL exact multiplier = 9

source roles = [GCD candidate divides a, 12, 108]

derived = [是, 9]

GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier := div(132, 12)

GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier = 11

source roles = [GCD candidate divides b, 12, 132]

derived = [是, 11]

source roles = [108, 132, 12, 12]

derived = [是, 是, 是, 12, 是]

逐步反向核對

• S019 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S018 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD candidate divides a ORIGINAL exact multiplier，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

(108, 132, 12, 是, 是, 是, 12, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。