第 31749 題：最大公因數與互質

原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-common-divisor-audit；資料={"a":128,"b":162,"d":3}。請依 [a,b,d,d|a,d|b,d_is_gcd,gcd,valid] 的欄序回答。

• G001 — 自然數gcd。操作=gcd-common-divisor-audit；資料={"a":128,"b":162,"d":3}。請依 [a,b,d,d|a,d|b,d_is_gcd,gcd,valid] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gcd-coprime

逐步推導

source roles = [qf-ext18-gcd-common-divisor-audit, Nat_gcd, gcd-common-divisor-audit, no-form-field]

derived = [[a, b, d, divides_a, divides_b, equals_gcd, gcd, common_AND_gcd]]

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(0, 162)

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 0

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(128, 0)

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 128

source roles = [128, 162, 0]

derived = [0, 128, [128, 162, 128]]

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 128)

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 128

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(162, 128)

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 34

source roles = [162, 128, 1]

derived = [128, 34, [162, 128, 34]]

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(3, 34)

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 102

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(128, 102)

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 26

source roles = [128, 34, 3]

derived = [102, 26, [128, 34, 26]]

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 26)

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y = 26

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy := sub(34, 26)

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy = 8

source roles = [34, 26, 1]

derived = [26, 8, [34, 26, 8]]

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y := mul(3, 8)

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y = 24

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy := sub(26, 24)

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy = 2

source roles = [26, 8, 3]

derived = [24, 2, [26, 8, 2]]

GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y := mul(4, 2)

GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y = 8

GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy := sub(8, 8)

GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy = 0

source roles = [8, 2, 4]

derived = [8, 0, [8, 2, 0]]

source roles = [128, 162, [[128, 162, 128], [162, 128, 34], [128, 34, 26], [34, 26, 8], [26, 8, 2], [8, 2, 0]]]

derived = [2, 0]

source roles = [GCD candidate divides a, 3, 128]

derived = [否, not-applicable]

GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier := div(162, 3)

GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier = 54

source roles = [GCD candidate divides b, 3, 162]

derived = [是, 54]

source roles = [128, 162, 3, 2]

derived = [否, 是, 否, 2, 否]

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S023 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD candidate divides b ORIGINAL exact multiplier，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S020 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S019 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

(128, 162, 3, 否, 是, 否, 2, 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。