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第 8980 題：最大公因數與互質

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0016-08980 · q-20261013-advance-20261018-r03-gcd-coprime-0080

原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-associative-triple；資料={"a":16,"b":26,"c":42}。請依 [a,b,c,left_gcd,right_gcd,equal] 的欄序回答。

  • G001 — 自然數gcd。操作=gcd-associative-triple；資料={"a":16,"b":26,"c":42}。請依 [a,b,c,left_gcd,right_gcd,equal] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

natural triple=[16, 26, 42];gcd(0,0)=0

操作後

compute both complete parenthesizations

條件：無

此題要求兩條實際Euclid路線，不只重複結合律結論；輸入可含0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_two_routes_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row0:divide natural 16 by positive 26

操作後

16=0·26+16

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[16, 26];quotient=0;remainder=16

操作後

next pair=[26, 16];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row1:divide natural 26 by positive 16

操作後

26=1·16+10

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[26, 16];quotient=1;remainder=10

操作後

next pair=[16, 10];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row2:divide natural 16 by positive 10

操作後

16=1·10+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[16, 10];quotient=1;remainder=6

操作後

next pair=[10, 6];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row3:divide natural 10 by positive 6

操作後

10=1·6+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[10, 6];quotient=1;remainder=4

操作後

next pair=[6, 4];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row4:divide natural 6 by positive 4

操作後

6=1·4+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[6, 4];quotient=1;remainder=2

操作後

next pair=[4, 2];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

left inner gcd(a,b) Euclid row5:divide natural 4 by positive 2

操作後

4=2·2+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

phase=left inner gcd(a,b);pair=[4, 2];quotient=2;remainder=0

操作後

next pair=[2, 0];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

phase=left inner gcd(a,b);terminal pair=[2, 0]

操作後

gcd=2

條件：無

終點gcd(x,0)=x；x=0時採gcd(0,0)=0的自然數慣例。不取模0，也不由gcd值推出兩數皆為質數。

步驟識別與依賴

規則：gcd_terminal_zero_convention · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

left outer gcd(ab,c) Euclid row0:divide natural 2 by positive 42

操作後

2=0·42+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

phase=left outer gcd(ab,c);pair=[2, 42];quotient=0;remainder=2

操作後

next pair=[42, 2];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

left outer gcd(ab,c) Euclid row1:divide natural 42 by positive 2

操作後

42=21·2+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

phase=left outer gcd(ab,c);pair=[42, 2];quotient=21;remainder=0

操作後

next pair=[2, 0];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

phase=left outer gcd(ab,c);terminal pair=[2, 0]

操作後

gcd=2

條件：無

終點gcd(x,0)=x；x=0時採gcd(0,0)=0的自然數慣例。不取模0，也不由gcd值推出兩數皆為質數。

步驟識別與依賴

規則：gcd_terminal_zero_convention · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row0:divide natural 26 by positive 42

操作後

26=0·42+26

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[26, 42];quotient=0;remainder=26

操作後

next pair=[42, 26];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row1:divide natural 42 by positive 26

操作後

42=1·26+16

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[42, 26];quotient=1;remainder=16

操作後

next pair=[26, 16];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row2:divide natural 26 by positive 16

操作後

26=1·16+10

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[26, 16];quotient=1;remainder=10

操作後

next pair=[16, 10];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row3:divide natural 16 by positive 10

操作後

16=1·10+6

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[16, 10];quotient=1;remainder=6

操作後

next pair=[10, 6];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row4:divide natural 10 by positive 6

操作後

10=1·6+4

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[10, 6];quotient=1;remainder=4

操作後

next pair=[6, 4];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row5:divide natural 6 by positive 4

操作後

6=1·4+2

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[6, 4];quotient=1;remainder=2

操作後

next pair=[4, 2];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

right inner gcd(b,c) Euclid row6:divide natural 4 by positive 2

操作後

4=2·2+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

phase=right inner gcd(b,c);pair=[4, 2];quotient=2;remainder=0

操作後

next pair=[2, 0];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

phase=right inner gcd(b,c);terminal pair=[2, 0]

操作後

gcd=2

條件：無

終點gcd(x,0)=x；x=0時採gcd(0,0)=0的自然數慣例。不取模0，也不由gcd值推出兩數皆為質數。

步驟識別與依賴

規則：gcd_terminal_zero_convention · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

right outer gcd(a,bc) Euclid row0:divide natural 16 by positive 2

操作後

16=8·2+0

條件：無

正除數給唯一商餘，餘數滿足0≤r<divisor；這個完整等式同時核商與餘數，不作除以0。

步驟識別與依賴

規則：natural_euclidean_division_witness · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

phase=right outer gcd(a,bc);pair=[16, 2];quotient=8;remainder=0

操作後

next pair=[2, 0];0<=remainder<divisor

條件：無

x=q*y+r表示共同因數同時整除x,y當且僅當同時整除y,r；正除數下餘數嚴格變小，因此迴圈會到第二項0。

步驟識別與依賴

規則：gcd_common_divisor_invariance · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

phase=right outer gcd(a,bc);terminal pair=[2, 0]

操作後

gcd=2

條件：無

終點gcd(x,0)=x；x=0時採gcd(0,0)=0的自然數慣例。不取模0，也不由gcd值推出兩數皆為質數。

步驟識別與依賴

規則：gcd_terminal_zero_convention · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

gcd(a,b)=2;gcd(b,c)=2

操作後

left=2;right=2;equal=是

條件：無

分別拿兩個內層結果進外層，最後比較；一般理由是兩路都有同一組三數共同因數，但本題仍保留實際商餘證據。

步驟識別與依賴

規則：gcd_parenthesizations_actual_comparison · 依賴：G001, S037

逐步反向核對

  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(16, 26, 42, 2, 2, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: af0a91e32b87f7e2d30e10604829ac3b2a0081eb0bf343c49cc3417c72ab2f73
  • candidate record SHA-256: c00b12f1e3f8586d2de5c933e087ecf69805451caea8d5f176b4fb30bff3e997
  • semantic review receipt SHA-256: 00fcddb10a9fb0f56697308976a52e68e2537472bd8e68ecbe96d3c4553f4ad2
  • question-first witness SHA-256: 198e04380b2d32aef2375b07ca0df1f8afa454d1184993173fad8a3c9187a3d1
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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