S001 · implies
操作前
natural-number prime protocol;0 and1 are not prime
操作後
a failed candidate witness alone is not a primality proof
條件：無
自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。
步驟識別與依賴
規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001
第 9124 題：自然數質數與因數
R0017-09124 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0024
原題與已知條件
自然數質數。操作=prime-divisor-classification；資料={"p":23}。請依 [p,positive_divisors_or_all,p_at_least_2,prime] 的欄序回答。
G001— 自然數質數。操作=prime-divisor-classification；資料={"p":23}。請依 [p,positive_divisors_or_all,p_at_least_2,prime] 的欄序回答。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · implies
操作前
positive factor pair candidate1:natural dividend=23;positive divisor=1
操作後
23=23·1+0
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S001
S003 · implies
操作前
candidate d=1;quotient=23;remainder=0
操作後
factor pair=[1, 23]
條件：無
零餘數才把d與n/d同時加入；平方根重合時去重。任一因數對至少一端≤sqrt(n)，故配對覆蓋所有正因數。
步驟識別與依賴
規則：complete_positive_factor_pair_inventory · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
positive factor pair candidate2:natural dividend=23;positive divisor=2
操作後
23=11·2+1
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003
S005 · implies
操作前
candidate d=2;quotient=11;remainder=1
操作後
factor pair=none
條件：無
零餘數才把d與n/d同時加入；平方根重合時去重。任一因數對至少一端≤sqrt(n)，故配對覆蓋所有正因數。
步驟識別與依賴
規則：complete_positive_factor_pair_inventory · 依賴：G001, S004
S006 · implies
操作前
positive factor pair candidate3:natural dividend=23;positive divisor=3
操作後
23=7·3+2
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005
S007 · implies
操作前
candidate d=3;quotient=7;remainder=2
操作後
factor pair=none
條件：無
零餘數才把d與n/d同時加入；平方根重合時去重。任一因數對至少一端≤sqrt(n)，故配對覆蓋所有正因數。
步驟識別與依賴
規則：complete_positive_factor_pair_inventory · 依賴：G001, S006
S008 · implies
操作前
positive factor pair candidate4:natural dividend=23;positive divisor=4
操作後
23=5·4+3
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S007
S009 · implies
操作前
candidate d=4;quotient=5;remainder=3
操作後
factor pair=none
條件：無
零餘數才把d與n/d同時加入；平方根重合時去重。任一因數對至少一端≤sqrt(n)，故配對覆蓋所有正因數。
步驟識別與依賴
規則：complete_positive_factor_pair_inventory · 依賴：G001, S008
S010 · implies
操作前
all positive divisors=[1, 23];n=23
操作後
n>=2=是;exactly1 and n=是;prime=是
條件：無
完整正因數恰為1與n且n≥2才是質數；n=1的集合只有一個1，不把重複列出的[1,1]當兩個因數。
步驟識別與依賴
規則：prime_positive_divisors_with_lower_bound · 依賴：G001, S009
逐步反向核對
S010· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
結論
(23, [1, 23], 是, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 98233cc02bf6996cb464f4e1d53b3a9efca484f0fc94e34fc60fefeb00da09d3candidate record SHA-256: b279ad782e2b20f8fcc15ae3a355faa95cf02172054abbc8bc747e2aad615067semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED