S001 · implies
操作前
natural-number prime protocol;0 and1 are not prime
操作後
a failed candidate witness alone is not a primality proof
條件：無
自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。
步驟識別與依賴
規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001
第 9187 題：自然數質數與因數
R0017-09187 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0037
原題與已知條件
自然數質數。操作=prime-smallest-factor；資料={"n":41}。請依 [n,smallest_factor_or_不適用,prime] 的欄序回答。
G001— 自然數質數。操作=prime-smallest-factor；資料={"n":41}。請依 [n,smallest_factor_or_不適用,prime] 的欄序回答。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · implies
操作前
phase=given n;n=41
操作後
n>=2=是
條件：無
質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。
步驟識別與依賴
規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S001
S003 · implies
操作前
given n trial divisor2:natural dividend=41;positive divisor=2
操作後
41=20·2+1
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
given n trial divisor3:natural dividend=41;positive divisor=3
操作後
41=13·3+2
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003
S005 · implies
操作前
given n trial divisor4:natural dividend=41;positive divisor=4
操作後
41=10·4+1
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S004
S006 · implies
操作前
given n trial divisor5:natural dividend=41;positive divisor=5
操作後
41=8·5+1
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005
S007 · implies
操作前
given n trial divisor6:natural dividend=41;positive divisor=6
操作後
41=6·6+5
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S006
S008 · implies
操作前
phase=given n;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6];sqrt floor=6
操作後
least factor at least2=41;prime=是
條件：無
若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。
步驟識別與依賴
規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S007
逐步反向核對
S008· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
結論
(41, 41, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 5ddf7138be316119357974e52b00a277f8b6b2bc7bd57d00a1fac6a086a83217candidate record SHA-256: 9743ba5d6d10d9730dfd741fe1da908f2c19ec7c78a79c3359345df1e9dfcd53semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED