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第 9156 題：自然數質數與因數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 46

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R0017-09156 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0081

原題與已知條件

自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":25,"hi":45}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。

  • G001 — 自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":25,"hi":45}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

natural-number prime protocol;0 and1 are not prime

操作後

a failed candidate witness alone is not a primality proof

條件：無

自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

phase=interval value25;n=25

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

interval value25 trial divisor2:natural dividend=25;positive divisor=2

操作後

25=12·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

interval value25 trial divisor3:natural dividend=25;positive divisor=3

操作後

25=8·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

interval value25 trial divisor4:natural dividend=25;positive divisor=4

操作後

25=6·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

interval value25 trial divisor5:natural dividend=25;positive divisor=5

操作後

25=5·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

phase=interval value25;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

phase=interval value26;n=26

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

interval value26 trial divisor2:natural dividend=26;positive divisor=2

操作後

26=13·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

phase=interval value26;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

phase=interval value27;n=27

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

interval value27 trial divisor2:natural dividend=27;positive divisor=2

操作後

27=13·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

interval value27 trial divisor3:natural dividend=27;positive divisor=3

操作後

27=9·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

phase=interval value27;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

phase=interval value28;n=28

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

interval value28 trial divisor2:natural dividend=28;positive divisor=2

操作後

28=14·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

phase=interval value28;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

phase=interval value29;n=29

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

interval value29 trial divisor2:natural dividend=29;positive divisor=2

操作後

29=14·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

interval value29 trial divisor3:natural dividend=29;positive divisor=3

操作後

29=9·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

interval value29 trial divisor4:natural dividend=29;positive divisor=4

操作後

29=7·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

interval value29 trial divisor5:natural dividend=29;positive divisor=5

操作後

29=5·5+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

phase=interval value29;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=29;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

phase=interval value30;n=30

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

interval value30 trial divisor2:natural dividend=30;positive divisor=2

操作後

30=15·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

phase=interval value30;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

phase=interval value31;n=31

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

interval value31 trial divisor2:natural dividend=31;positive divisor=2

操作後

31=15·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

interval value31 trial divisor3:natural dividend=31;positive divisor=3

操作後

31=10·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

interval value31 trial divisor4:natural dividend=31;positive divisor=4

操作後

31=7·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

interval value31 trial divisor5:natural dividend=31;positive divisor=5

操作後

31=6·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

phase=interval value31;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=31;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

phase=interval value32;n=32

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

interval value32 trial divisor2:natural dividend=32;positive divisor=2

操作後

32=16·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

phase=interval value32;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

phase=interval value33;n=33

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

interval value33 trial divisor2:natural dividend=33;positive divisor=2

操作後

33=16·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

interval value33 trial divisor3:natural dividend=33;positive divisor=3

操作後

33=11·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

phase=interval value33;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

phase=interval value34;n=34

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

interval value34 trial divisor2:natural dividend=34;positive divisor=2

操作後

34=17·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

phase=interval value34;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

phase=interval value35;n=35

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

interval value35 trial divisor2:natural dividend=35;positive divisor=2

操作後

35=17·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

interval value35 trial divisor3:natural dividend=35;positive divisor=3

操作後

35=11·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

interval value35 trial divisor4:natural dividend=35;positive divisor=4

操作後

35=8·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

interval value35 trial divisor5:natural dividend=35;positive divisor=5

操作後

35=7·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

phase=interval value35;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=5

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

phase=interval value36;n=36

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

interval value36 trial divisor2:natural dividend=36;positive divisor=2

操作後

36=18·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

phase=interval value36;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

phase=interval value37;n=37

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

interval value37 trial divisor2:natural dividend=37;positive divisor=2

操作後

37=18·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

interval value37 trial divisor3:natural dividend=37;positive divisor=3

操作後

37=12·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

interval value37 trial divisor4:natural dividend=37;positive divisor=4

操作後

37=9·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

interval value37 trial divisor5:natural dividend=37;positive divisor=5

操作後

37=7·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

interval value37 trial divisor6:natural dividend=37;positive divisor=6

操作後

37=6·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

phase=interval value37;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=37;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

phase=interval value38;n=38

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

interval value38 trial divisor2:natural dividend=38;positive divisor=2

操作後

38=19·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

phase=interval value38;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

phase=interval value39;n=39

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

interval value39 trial divisor2:natural dividend=39;positive divisor=2

操作後

39=19·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

interval value39 trial divisor3:natural dividend=39;positive divisor=3

操作後

39=13·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

phase=interval value39;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

phase=interval value40;n=40

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

interval value40 trial divisor2:natural dividend=40;positive divisor=2

操作後

40=20·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

phase=interval value40;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

phase=interval value41;n=41

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

interval value41 trial divisor2:natural dividend=41;positive divisor=2

操作後

41=20·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

interval value41 trial divisor3:natural dividend=41;positive divisor=3

操作後

41=13·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

interval value41 trial divisor4:natural dividend=41;positive divisor=4

操作後

41=10·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

interval value41 trial divisor5:natural dividend=41;positive divisor=5

操作後

41=8·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

interval value41 trial divisor6:natural dividend=41;positive divisor=6

操作後

41=6·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

phase=interval value41;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=41;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

phase=interval value42;n=42

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

interval value42 trial divisor2:natural dividend=42;positive divisor=2

操作後

42=21·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

phase=interval value42;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

phase=interval value43;n=43

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

interval value43 trial divisor2:natural dividend=43;positive divisor=2

操作後

43=21·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

interval value43 trial divisor3:natural dividend=43;positive divisor=3

操作後

43=14·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

interval value43 trial divisor4:natural dividend=43;positive divisor=4

操作後

43=10·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

interval value43 trial divisor5:natural dividend=43;positive divisor=5

操作後

43=8·5+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

interval value43 trial divisor6:natural dividend=43;positive divisor=6

操作後

43=7·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

phase=interval value43;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=43;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

phase=interval value44;n=44

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

interval value44 trial divisor2:natural dividend=44;positive divisor=2

操作後

44=22·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

phase=interval value44;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S087

S089 · implies

操作前

phase=interval value45;n=45

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

interval value45 trial divisor2:natural dividend=45;positive divisor=2

操作後

45=22·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

interval value45 trial divisor3:natural dividend=45;positive divisor=3

操作後

45=15·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

phase=interval value45;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=6

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

inclusive interval=[25, 45]

操作後

all primes=[29, 31, 37, 41, 43];count=5

條件：無

區間兩端都核，逐一保留且只保留通過完整質數判準的數；沒有以有限列舉推論區間外的一般分布。

步驟識別與依賴

規則：complete_inclusive_prime_interval · 依賴：G001, S092

逐步反向核對

  • S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(25, 45, [29, 31, 37, 41, 43], 5)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: f62625a8f220a3b656dca3a92fe9d9daa260326903bd934be745000071606f42
  • candidate record SHA-256: afca78291329b31f1d0fe9ce1adb86fdebe1d0faf21c90b84e333e0b476f131b
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