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第 9166 題：自然數質數與因數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 46

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R0017-09166 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0091

原題與已知條件

自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":75,"hi":95}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。

  • G001 — 自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":75,"hi":95}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

natural-number prime protocol;0 and1 are not prime

操作後

a failed candidate witness alone is not a primality proof

條件：無

自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

phase=interval value75;n=75

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

interval value75 trial divisor2:natural dividend=75;positive divisor=2

操作後

75=37·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

interval value75 trial divisor3:natural dividend=75;positive divisor=3

操作後

75=25·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

phase=interval value75;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

phase=interval value76;n=76

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

interval value76 trial divisor2:natural dividend=76;positive divisor=2

操作後

76=38·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

phase=interval value76;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

phase=interval value77;n=77

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

interval value77 trial divisor2:natural dividend=77;positive divisor=2

操作後

77=38·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

interval value77 trial divisor3:natural dividend=77;positive divisor=3

操作後

77=25·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

interval value77 trial divisor4:natural dividend=77;positive divisor=4

操作後

77=19·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

interval value77 trial divisor5:natural dividend=77;positive divisor=5

操作後

77=15·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

interval value77 trial divisor6:natural dividend=77;positive divisor=6

操作後

77=12·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

interval value77 trial divisor7:natural dividend=77;positive divisor=7

操作後

77=11·7+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

phase=interval value77;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=7;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

phase=interval value78;n=78

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

interval value78 trial divisor2:natural dividend=78;positive divisor=2

操作後

78=39·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

phase=interval value78;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

phase=interval value79;n=79

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

interval value79 trial divisor2:natural dividend=79;positive divisor=2

操作後

79=39·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

interval value79 trial divisor3:natural dividend=79;positive divisor=3

操作後

79=26·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

interval value79 trial divisor4:natural dividend=79;positive divisor=4

操作後

79=19·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

interval value79 trial divisor5:natural dividend=79;positive divisor=5

操作後

79=15·5+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

interval value79 trial divisor6:natural dividend=79;positive divisor=6

操作後

79=13·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

interval value79 trial divisor7:natural dividend=79;positive divisor=7

操作後

79=11·7+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

interval value79 trial divisor8:natural dividend=79;positive divisor=8

操作後

79=9·8+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

phase=interval value79;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=79;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

phase=interval value80;n=80

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

interval value80 trial divisor2:natural dividend=80;positive divisor=2

操作後

80=40·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

phase=interval value80;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=8

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

phase=interval value81;n=81

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

interval value81 trial divisor2:natural dividend=81;positive divisor=2

操作後

81=40·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

interval value81 trial divisor3:natural dividend=81;positive divisor=3

操作後

81=27·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

phase=interval value81;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

phase=interval value82;n=82

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

interval value82 trial divisor2:natural dividend=82;positive divisor=2

操作後

82=41·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

phase=interval value82;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

phase=interval value83;n=83

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

interval value83 trial divisor2:natural dividend=83;positive divisor=2

操作後

83=41·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

interval value83 trial divisor3:natural dividend=83;positive divisor=3

操作後

83=27·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

interval value83 trial divisor4:natural dividend=83;positive divisor=4

操作後

83=20·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

interval value83 trial divisor5:natural dividend=83;positive divisor=5

操作後

83=16·5+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

interval value83 trial divisor6:natural dividend=83;positive divisor=6

操作後

83=13·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

interval value83 trial divisor7:natural dividend=83;positive divisor=7

操作後

83=11·7+6

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

interval value83 trial divisor8:natural dividend=83;positive divisor=8

操作後

83=10·8+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

interval value83 trial divisor9:natural dividend=83;positive divisor=9

操作後

83=9·9+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

phase=interval value83;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=83;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

phase=interval value84;n=84

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

interval value84 trial divisor2:natural dividend=84;positive divisor=2

操作後

84=42·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

phase=interval value84;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

phase=interval value85;n=85

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

interval value85 trial divisor2:natural dividend=85;positive divisor=2

操作後

85=42·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

interval value85 trial divisor3:natural dividend=85;positive divisor=3

操作後

85=28·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

interval value85 trial divisor4:natural dividend=85;positive divisor=4

操作後

85=21·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

interval value85 trial divisor5:natural dividend=85;positive divisor=5

操作後

85=17·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

phase=interval value85;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

phase=interval value86;n=86

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

interval value86 trial divisor2:natural dividend=86;positive divisor=2

操作後

86=43·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

phase=interval value86;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

phase=interval value87;n=87

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

interval value87 trial divisor2:natural dividend=87;positive divisor=2

操作後

87=43·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

interval value87 trial divisor3:natural dividend=87;positive divisor=3

操作後

87=29·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

phase=interval value87;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

phase=interval value88;n=88

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

interval value88 trial divisor2:natural dividend=88;positive divisor=2

操作後

88=44·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

phase=interval value88;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

phase=interval value89;n=89

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

interval value89 trial divisor2:natural dividend=89;positive divisor=2

操作後

89=44·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

interval value89 trial divisor3:natural dividend=89;positive divisor=3

操作後

89=29·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

interval value89 trial divisor4:natural dividend=89;positive divisor=4

操作後

89=22·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

interval value89 trial divisor5:natural dividend=89;positive divisor=5

操作後

89=17·5+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

interval value89 trial divisor6:natural dividend=89;positive divisor=6

操作後

89=14·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

interval value89 trial divisor7:natural dividend=89;positive divisor=7

操作後

89=12·7+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

interval value89 trial divisor8:natural dividend=89;positive divisor=8

操作後

89=11·8+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

interval value89 trial divisor9:natural dividend=89;positive divisor=9

操作後

89=9·9+8

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

phase=interval value89;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=89;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

phase=interval value90;n=90

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

interval value90 trial divisor2:natural dividend=90;positive divisor=2

操作後

90=45·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

phase=interval value90;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

phase=interval value91;n=91

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

interval value91 trial divisor2:natural dividend=91;positive divisor=2

操作後

91=45·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

interval value91 trial divisor3:natural dividend=91;positive divisor=3

操作後

91=30·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

interval value91 trial divisor4:natural dividend=91;positive divisor=4

操作後

91=22·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

interval value91 trial divisor5:natural dividend=91;positive divisor=5

操作後

91=18·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

interval value91 trial divisor6:natural dividend=91;positive divisor=6

操作後

91=15·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

interval value91 trial divisor7:natural dividend=91;positive divisor=7

操作後

91=13·7+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

phase=interval value91;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=7;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S087

S089 · implies

操作前

phase=interval value92;n=92

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

interval value92 trial divisor2:natural dividend=92;positive divisor=2

操作後

92=46·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

phase=interval value92;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

phase=interval value93;n=93

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

interval value93 trial divisor2:natural dividend=93;positive divisor=2

操作後

93=46·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

interval value93 trial divisor3:natural dividend=93;positive divisor=3

操作後

93=31·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

phase=interval value93;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

phase=interval value94;n=94

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

interval value94 trial divisor2:natural dividend=94;positive divisor=2

操作後

94=47·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S096

S098 · implies

操作前

phase=interval value94;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S097

S099 · implies

操作前

phase=interval value95;n=95

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S098

S100 · implies

操作前

interval value95 trial divisor2:natural dividend=95;positive divisor=2

操作後

95=47·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S099

S101 · implies

操作前

interval value95 trial divisor3:natural dividend=95;positive divisor=3

操作後

95=31·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S100

S102 · implies

操作前

interval value95 trial divisor4:natural dividend=95;positive divisor=4

操作後

95=23·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S101

S103 · implies

操作前

interval value95 trial divisor5:natural dividend=95;positive divisor=5

操作後

95=19·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S102

S104 · implies

操作前

phase=interval value95;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S103

S105 · implies

操作前

inclusive interval=[75, 95]

操作後

all primes=[79, 83, 89];count=3

條件：無

區間兩端都核，逐一保留且只保留通過完整質數判準的數；沒有以有限列舉推論區間外的一般分布。

步驟識別與依賴

規則：complete_inclusive_prime_interval · 依賴：G001, S104

逐步反向核對

  • S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(75, 95, [79, 83, 89], 3)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 5924d3c7dbf304c9be39683a4532cc5d7dbee2467b964fc6b1beae163ab94661
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  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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