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第 9170 題：自然數質數與因數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 46

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R0017-09170 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0095

原題與已知條件

自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":95,"hi":115}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。

  • G001 — 自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":95,"hi":115}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

natural-number prime protocol;0 and1 are not prime

操作後

a failed candidate witness alone is not a primality proof

條件：無

自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

phase=interval value95;n=95

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

interval value95 trial divisor2:natural dividend=95;positive divisor=2

操作後

95=47·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

interval value95 trial divisor3:natural dividend=95;positive divisor=3

操作後

95=31·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

interval value95 trial divisor4:natural dividend=95;positive divisor=4

操作後

95=23·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

interval value95 trial divisor5:natural dividend=95;positive divisor=5

操作後

95=19·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

phase=interval value95;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

phase=interval value96;n=96

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

interval value96 trial divisor2:natural dividend=96;positive divisor=2

操作後

96=48·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

phase=interval value96;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

phase=interval value97;n=97

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

interval value97 trial divisor2:natural dividend=97;positive divisor=2

操作後

97=48·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

interval value97 trial divisor3:natural dividend=97;positive divisor=3

操作後

97=32·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

interval value97 trial divisor4:natural dividend=97;positive divisor=4

操作後

97=24·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

interval value97 trial divisor5:natural dividend=97;positive divisor=5

操作後

97=19·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

interval value97 trial divisor6:natural dividend=97;positive divisor=6

操作後

97=16·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

interval value97 trial divisor7:natural dividend=97;positive divisor=7

操作後

97=13·7+6

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

interval value97 trial divisor8:natural dividend=97;positive divisor=8

操作後

97=12·8+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

interval value97 trial divisor9:natural dividend=97;positive divisor=9

操作後

97=10·9+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

phase=interval value97;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=97;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

phase=interval value98;n=98

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

interval value98 trial divisor2:natural dividend=98;positive divisor=2

操作後

98=49·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

phase=interval value98;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

phase=interval value99;n=99

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

interval value99 trial divisor2:natural dividend=99;positive divisor=2

操作後

99=49·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

interval value99 trial divisor3:natural dividend=99;positive divisor=3

操作後

99=33·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

phase=interval value99;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=9

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

phase=interval value100;n=100

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

interval value100 trial divisor2:natural dividend=100;positive divisor=2

操作後

100=50·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

phase=interval value100;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

phase=interval value101;n=101

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

interval value101 trial divisor2:natural dividend=101;positive divisor=2

操作後

101=50·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

interval value101 trial divisor3:natural dividend=101;positive divisor=3

操作後

101=33·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

interval value101 trial divisor4:natural dividend=101;positive divisor=4

操作後

101=25·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

interval value101 trial divisor5:natural dividend=101;positive divisor=5

操作後

101=20·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

interval value101 trial divisor6:natural dividend=101;positive divisor=6

操作後

101=16·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

interval value101 trial divisor7:natural dividend=101;positive divisor=7

操作後

101=14·7+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

interval value101 trial divisor8:natural dividend=101;positive divisor=8

操作後

101=12·8+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

interval value101 trial divisor9:natural dividend=101;positive divisor=9

操作後

101=11·9+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

interval value101 trial divisor10:natural dividend=101;positive divisor=10

操作後

101=10·10+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

phase=interval value101;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=101;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

phase=interval value102;n=102

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

interval value102 trial divisor2:natural dividend=102;positive divisor=2

操作後

102=51·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

phase=interval value102;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

phase=interval value103;n=103

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

interval value103 trial divisor2:natural dividend=103;positive divisor=2

操作後

103=51·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

interval value103 trial divisor3:natural dividend=103;positive divisor=3

操作後

103=34·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

interval value103 trial divisor4:natural dividend=103;positive divisor=4

操作後

103=25·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

interval value103 trial divisor5:natural dividend=103;positive divisor=5

操作後

103=20·5+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

interval value103 trial divisor6:natural dividend=103;positive divisor=6

操作後

103=17·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

interval value103 trial divisor7:natural dividend=103;positive divisor=7

操作後

103=14·7+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

interval value103 trial divisor8:natural dividend=103;positive divisor=8

操作後

103=12·8+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

interval value103 trial divisor9:natural dividend=103;positive divisor=9

操作後

103=11·9+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

interval value103 trial divisor10:natural dividend=103;positive divisor=10

操作後

103=10·10+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

phase=interval value103;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=103;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

phase=interval value104;n=104

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

interval value104 trial divisor2:natural dividend=104;positive divisor=2

操作後

104=52·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

phase=interval value104;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

phase=interval value105;n=105

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

interval value105 trial divisor2:natural dividend=105;positive divisor=2

操作後

105=52·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

interval value105 trial divisor3:natural dividend=105;positive divisor=3

操作後

105=35·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

phase=interval value105;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

phase=interval value106;n=106

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

interval value106 trial divisor2:natural dividend=106;positive divisor=2

操作後

106=53·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

phase=interval value106;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

phase=interval value107;n=107

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

interval value107 trial divisor2:natural dividend=107;positive divisor=2

操作後

107=53·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

interval value107 trial divisor3:natural dividend=107;positive divisor=3

操作後

107=35·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

interval value107 trial divisor4:natural dividend=107;positive divisor=4

操作後

107=26·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

interval value107 trial divisor5:natural dividend=107;positive divisor=5

操作後

107=21·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

interval value107 trial divisor6:natural dividend=107;positive divisor=6

操作後

107=17·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

interval value107 trial divisor7:natural dividend=107;positive divisor=7

操作後

107=15·7+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

interval value107 trial divisor8:natural dividend=107;positive divisor=8

操作後

107=13·8+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

interval value107 trial divisor9:natural dividend=107;positive divisor=9

操作後

107=11·9+8

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

interval value107 trial divisor10:natural dividend=107;positive divisor=10

操作後

107=10·10+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

phase=interval value107;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=107;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

phase=interval value108;n=108

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

interval value108 trial divisor2:natural dividend=108;positive divisor=2

操作後

108=54·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

phase=interval value108;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

phase=interval value109;n=109

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

interval value109 trial divisor2:natural dividend=109;positive divisor=2

操作後

109=54·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

interval value109 trial divisor3:natural dividend=109;positive divisor=3

操作後

109=36·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

interval value109 trial divisor4:natural dividend=109;positive divisor=4

操作後

109=27·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

interval value109 trial divisor5:natural dividend=109;positive divisor=5

操作後

109=21·5+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

interval value109 trial divisor6:natural dividend=109;positive divisor=6

操作後

109=18·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

interval value109 trial divisor7:natural dividend=109;positive divisor=7

操作後

109=15·7+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

interval value109 trial divisor8:natural dividend=109;positive divisor=8

操作後

109=13·8+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

interval value109 trial divisor9:natural dividend=109;positive divisor=9

操作後

109=12·9+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S087

S089 · implies

操作前

interval value109 trial divisor10:natural dividend=109;positive divisor=10

操作後

109=10·10+9

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

phase=interval value109;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=109;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

phase=interval value110;n=110

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

interval value110 trial divisor2:natural dividend=110;positive divisor=2

操作後

110=55·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

phase=interval value110;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

phase=interval value111;n=111

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

interval value111 trial divisor2:natural dividend=111;positive divisor=2

操作後

111=55·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

interval value111 trial divisor3:natural dividend=111;positive divisor=3

操作後

111=37·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

phase=interval value111;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S096

S098 · implies

操作前

phase=interval value112;n=112

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S097

S099 · implies

操作前

interval value112 trial divisor2:natural dividend=112;positive divisor=2

操作後

112=56·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S098

S100 · implies

操作前

phase=interval value112;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S099

S101 · implies

操作前

phase=interval value113;n=113

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S100

S102 · implies

操作前

interval value113 trial divisor2:natural dividend=113;positive divisor=2

操作後

113=56·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S101

S103 · implies

操作前

interval value113 trial divisor3:natural dividend=113;positive divisor=3

操作後

113=37·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S102

S104 · implies

操作前

interval value113 trial divisor4:natural dividend=113;positive divisor=4

操作後

113=28·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S103

S105 · implies

操作前

interval value113 trial divisor5:natural dividend=113;positive divisor=5

操作後

113=22·5+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S104

S106 · implies

操作前

interval value113 trial divisor6:natural dividend=113;positive divisor=6

操作後

113=18·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S105

S107 · implies

操作前

interval value113 trial divisor7:natural dividend=113;positive divisor=7

操作後

113=16·7+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S106

S108 · implies

操作前

interval value113 trial divisor8:natural dividend=113;positive divisor=8

操作後

113=14·8+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S107

S109 · implies

操作前

interval value113 trial divisor9:natural dividend=113;positive divisor=9

操作後

113=12·9+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S108

S110 · implies

操作前

interval value113 trial divisor10:natural dividend=113;positive divisor=10

操作後

113=11·10+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S109

S111 · implies

操作前

phase=interval value113;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=113;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S110

S112 · implies

操作前

phase=interval value114;n=114

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S111

S113 · implies

操作前

interval value114 trial divisor2:natural dividend=114;positive divisor=2

操作後

114=57·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S112

S114 · implies

操作前

phase=interval value114;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S113

S115 · implies

操作前

phase=interval value115;n=115

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S114

S116 · implies

操作前

interval value115 trial divisor2:natural dividend=115;positive divisor=2

操作後

115=57·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S115

S117 · implies

操作前

interval value115 trial divisor3:natural dividend=115;positive divisor=3

操作後

115=38·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S116

S118 · implies

操作前

interval value115 trial divisor4:natural dividend=115;positive divisor=4

操作後

115=28·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S117

S119 · implies

操作前

interval value115 trial divisor5:natural dividend=115;positive divisor=5

操作後

115=23·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S118

S120 · implies

操作前

phase=interval value115;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S119

S121 · implies

操作前

inclusive interval=[95, 115]

操作後

all primes=[97, 101, 103, 107, 109, 113];count=6

條件：無

區間兩端都核，逐一保留且只保留通過完整質數判準的數；沒有以有限列舉推論區間外的一般分布。

步驟識別與依賴

規則：complete_inclusive_prime_interval · 依賴：G001, S120

逐步反向核對

  • S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S115 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S107 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(95, 115, [97, 101, 103, 107, 109, 113], 6)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: a85daf456237f874ba82c9f3369355c58f6c1ee076d36dd3a720b5ee727c6bcd
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  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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