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第 9173 題：自然數質數與因數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 46

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R0017-09173 · q-20261013-advance-20261018-r04-prime-number-0098

原題與已知條件

自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":110,"hi":130}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。

  • G001 — 自然數質數。操作=prime-interval-inventory；資料={"lo":110,"hi":130}。請依 [lo,hi,primes,count] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

natural-number prime protocol;0 and1 are not prime

操作後

a failed candidate witness alone is not a primality proof

條件：無

自然數含0；質數判準須保留n≥2與完整因數界。單一因數候選失敗只否定該見證，不能直接斷言質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_complete_evidence_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

phase=interval value110;n=110

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

interval value110 trial divisor2:natural dividend=110;positive divisor=2

操作後

110=55·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

phase=interval value110;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

phase=interval value111;n=111

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

interval value111 trial divisor2:natural dividend=111;positive divisor=2

操作後

111=55·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

interval value111 trial divisor3:natural dividend=111;positive divisor=3

操作後

111=37·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

phase=interval value111;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

phase=interval value112;n=112

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

interval value112 trial divisor2:natural dividend=112;positive divisor=2

操作後

112=56·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

phase=interval value112;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

phase=interval value113;n=113

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

interval value113 trial divisor2:natural dividend=113;positive divisor=2

操作後

113=56·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

interval value113 trial divisor3:natural dividend=113;positive divisor=3

操作後

113=37·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

interval value113 trial divisor4:natural dividend=113;positive divisor=4

操作後

113=28·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

interval value113 trial divisor5:natural dividend=113;positive divisor=5

操作後

113=22·5+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

interval value113 trial divisor6:natural dividend=113;positive divisor=6

操作後

113=18·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

interval value113 trial divisor7:natural dividend=113;positive divisor=7

操作後

113=16·7+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

interval value113 trial divisor8:natural dividend=113;positive divisor=8

操作後

113=14·8+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

interval value113 trial divisor9:natural dividend=113;positive divisor=9

操作後

113=12·9+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

interval value113 trial divisor10:natural dividend=113;positive divisor=10

操作後

113=11·10+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

phase=interval value113;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=113;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

phase=interval value114;n=114

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

interval value114 trial divisor2:natural dividend=114;positive divisor=2

操作後

114=57·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

phase=interval value114;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

phase=interval value115;n=115

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

interval value115 trial divisor2:natural dividend=115;positive divisor=2

操作後

115=57·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

interval value115 trial divisor3:natural dividend=115;positive divisor=3

操作後

115=38·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

interval value115 trial divisor4:natural dividend=115;positive divisor=4

操作後

115=28·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

interval value115 trial divisor5:natural dividend=115;positive divisor=5

操作後

115=23·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

phase=interval value115;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

phase=interval value116;n=116

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

interval value116 trial divisor2:natural dividend=116;positive divisor=2

操作後

116=58·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

phase=interval value116;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

phase=interval value117;n=117

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

interval value117 trial divisor2:natural dividend=117;positive divisor=2

操作後

117=58·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

interval value117 trial divisor3:natural dividend=117;positive divisor=3

操作後

117=39·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

phase=interval value117;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

phase=interval value118;n=118

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

interval value118 trial divisor2:natural dividend=118;positive divisor=2

操作後

118=59·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

phase=interval value118;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

phase=interval value119;n=119

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

interval value119 trial divisor2:natural dividend=119;positive divisor=2

操作後

119=59·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

interval value119 trial divisor3:natural dividend=119;positive divisor=3

操作後

119=39·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

interval value119 trial divisor4:natural dividend=119;positive divisor=4

操作後

119=29·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

interval value119 trial divisor5:natural dividend=119;positive divisor=5

操作後

119=23·5+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

interval value119 trial divisor6:natural dividend=119;positive divisor=6

操作後

119=19·6+5

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

interval value119 trial divisor7:natural dividend=119;positive divisor=7

操作後

119=17·7+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

phase=interval value119;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=7;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

phase=interval value120;n=120

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

interval value120 trial divisor2:natural dividend=120;positive divisor=2

操作後

120=60·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

phase=interval value120;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=10

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

phase=interval value121;n=121

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

interval value121 trial divisor2:natural dividend=121;positive divisor=2

操作後

121=60·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

interval value121 trial divisor3:natural dividend=121;positive divisor=3

操作後

121=40·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

interval value121 trial divisor4:natural dividend=121;positive divisor=4

操作後

121=30·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

interval value121 trial divisor5:natural dividend=121;positive divisor=5

操作後

121=24·5+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

interval value121 trial divisor6:natural dividend=121;positive divisor=6

操作後

121=20·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

interval value121 trial divisor7:natural dividend=121;positive divisor=7

操作後

121=17·7+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

interval value121 trial divisor8:natural dividend=121;positive divisor=8

操作後

121=15·8+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

interval value121 trial divisor9:natural dividend=121;positive divisor=9

操作後

121=13·9+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

interval value121 trial divisor10:natural dividend=121;positive divisor=10

操作後

121=12·10+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

interval value121 trial divisor11:natural dividend=121;positive divisor=11

操作後

121=11·11+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

phase=interval value121;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=11;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

phase=interval value122;n=122

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

interval value122 trial divisor2:natural dividend=122;positive divisor=2

操作後

122=61·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

phase=interval value122;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

phase=interval value123;n=123

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

interval value123 trial divisor2:natural dividend=123;positive divisor=2

操作後

123=61·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

interval value123 trial divisor3:natural dividend=123;positive divisor=3

操作後

123=41·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

phase=interval value123;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

phase=interval value124;n=124

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

interval value124 trial divisor2:natural dividend=124;positive divisor=2

操作後

124=62·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

phase=interval value124;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

phase=interval value125;n=125

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

interval value125 trial divisor2:natural dividend=125;positive divisor=2

操作後

125=62·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

interval value125 trial divisor3:natural dividend=125;positive divisor=3

操作後

125=41·3+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

interval value125 trial divisor4:natural dividend=125;positive divisor=4

操作後

125=31·4+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

interval value125 trial divisor5:natural dividend=125;positive divisor=5

操作後

125=25·5+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

phase=interval value125;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=5;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

phase=interval value126;n=126

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

interval value126 trial divisor2:natural dividend=126;positive divisor=2

操作後

126=63·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

phase=interval value126;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

phase=interval value127;n=127

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

interval value127 trial divisor2:natural dividend=127;positive divisor=2

操作後

127=63·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

interval value127 trial divisor3:natural dividend=127;positive divisor=3

操作後

127=42·3+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

interval value127 trial divisor4:natural dividend=127;positive divisor=4

操作後

127=31·4+3

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

interval value127 trial divisor5:natural dividend=127;positive divisor=5

操作後

127=25·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S087

S089 · implies

操作前

interval value127 trial divisor6:natural dividend=127;positive divisor=6

操作後

127=21·6+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

interval value127 trial divisor7:natural dividend=127;positive divisor=7

操作後

127=18·7+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

interval value127 trial divisor8:natural dividend=127;positive divisor=8

操作後

127=15·8+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

interval value127 trial divisor9:natural dividend=127;positive divisor=9

操作後

127=14·9+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

interval value127 trial divisor10:natural dividend=127;positive divisor=10

操作後

127=12·10+7

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

interval value127 trial divisor11:natural dividend=127;positive divisor=11

操作後

127=11·11+6

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

phase=interval value127;tried ascending divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=127;prime=是

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

phase=interval value128;n=128

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

interval value128 trial divisor2:natural dividend=128;positive divisor=2

操作後

128=64·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S096

S098 · implies

操作前

phase=interval value128;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S097

S099 · implies

操作前

phase=interval value129;n=129

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S098

S100 · implies

操作前

interval value129 trial divisor2:natural dividend=129;positive divisor=2

操作後

129=64·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S099

S101 · implies

操作前

interval value129 trial divisor3:natural dividend=129;positive divisor=3

操作後

129=43·3+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S100

S102 · implies

操作前

phase=interval value129;tried ascending divisors=[2, 3];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=3;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S101

S103 · implies

操作前

phase=interval value130;n=130

操作後

n>=2=是

條件：無

質數必須至少2；0與1先排除，不能把沒有非平凡試除因子誤當質數。

步驟識別與依賴

規則：prime_lower_bound_guard · 依賴：G001, S102

S104 · implies

操作前

interval value130 trial divisor2:natural dividend=130;positive divisor=2

操作後

130=65·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S103

S105 · implies

操作前

phase=interval value130;tried ascending divisors=[2];sqrt floor=11

操作後

least factor at least2=2;prime=否

條件：無

若n=uv合數且u,v≥2，至少一因子≤sqrt(n)。依序找到首個零餘數就是最小因子；完整界內皆無因子時n自己是最小至少2因子，故為質數。

步驟識別與依賴

規則：complete_small_factor_bound · 依賴：G001, S104

S106 · implies

操作前

inclusive interval=[110, 130]

操作後

all primes=[113, 127];count=2

條件：無

區間兩端都核，逐一保留且只保留通過完整質數判準的數；沒有以有限列舉推論區間外的一般分布。

步驟識別與依賴

規則：complete_inclusive_prime_interval · 依賴：G001, S105

逐步反向核對

  • S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(110, 130, [113, 127], 2)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 0a52b014c8857d49df48a618e9668498ad654a56219d0c7c7d29cc07079a229b
  • candidate record SHA-256: 4a7e1d961ba7012f584042ff702833bc87a4b1505fea93780fc0a441fb4e3b25
  • semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
  • question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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