S001 · implies
操作前
fixed natural modulus candidate=7
操作後
positive modulus=是
條件：無
同餘在同一正模數下以餘數比較，不等於數值相等。乘法保持同餘不表示可無條件取消共同因子。
步驟識別與依賴
規則：fixed_positive_modulus_scope · 依賴：G001
第 9031 題：正模數同餘
R0017-09031 · q-20261013-advance-20261018-r05-modular-congruence-0031
原題與已知條件
固定模數。操作=modeq-equivalence-class；資料={"n":7,"a":16,"bound":30}。請依 [n,a,bound,remainder,class_members] 的欄序回答。
G001— 固定模數。操作=modeq-equivalence-class；資料={"n":7,"a":16,"bound":30}。請依 [n,a,bound,remainder,class_members] 的欄序回答。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · implies
操作前
representative remainder:natural dividend=16;positive divisor=7
操作後
16=2·7+2
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S001
S003 · calculation
操作前
window bound minus residue := sub(30, 2)
操作後
window bound minus residue = 28
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
last progression index:natural dividend=28;positive divisor=7
操作後
28=4·7+0
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003
S005 · implies
操作前
residue=2;modulus=7;0<=k<=4
操作後
all class members=[2, 9, 16, 23, 30]
條件：無
Euclid唯一性給x≡a當且僅當x=r+k*n；自然x且0≤r<n強迫k≥0，上界給k≤floor((bound−r)/n)。完整保留兩端，不只找幾個樣本。
步驟識別與依賴
規則：complete_residue_progression · 依賴：G001, S004
逐步反向核對
S005· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window bound minus residue，不以小數近似替代。S002· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
結論
(7, 16, 30, 2, [2, 9, 16, 23, 30])
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: c1ae60298466762c8cd658186e180101fb062f3e04d0b9960818b8a60fb30866candidate record SHA-256: 584eed3278d67bb005b0ffaceb94dfb52e009932f2fb135ecf8817f4a42a1631semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED