第 9047 題：正模數同餘

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

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R0017-09047 · q-20261013-advance-20261018-r05-modular-congruence-0047

原題與已知條件

固定模數。操作=modeq-equivalence-class；資料={"n":5,"a":64,"bound":46}。請依 [n,a,bound,remainder,class_members] 的欄序回答。

G001 — 固定模數。操作=modeq-equivalence-class；資料={"n":5,"a":64,"bound":46}。請依 [n,a,bound,remainder,class_members] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-modular-congruence

逐步推導

S001 · implies

操作前

fixed natural modulus candidate=5

操作後

positive modulus=是

條件：無

同餘在同一正模數下以餘數比較，不等於數值相等。乘法保持同餘不表示可無條件取消共同因子。

步驟識別與依賴

規則：fixed_positive_modulus_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

representative remainder:natural dividend=64;positive divisor=5

操作後

64=12·5+4

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

window bound minus residue := sub(46, 4)

操作後

window bound minus residue = 42

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

last progression index:natural dividend=42;positive divisor=5

操作後

42=8·5+2

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

residue=4;modulus=5;0<=k<=8

操作後

all class members=[4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44]

條件：無

Euclid唯一性給x≡a當且僅當x=r+k*n；自然x且0≤r<n強迫k≥0，上界給k≤floor((bound−r)/n)。完整保留兩端，不只找幾個樣本。

步驟識別與依賴

規則：complete_residue_progression · 依賴：G001, S004

逐步反向核對

S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 window bound minus residue，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 64, 46, 4, [4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: d1477118cdaa56f262ee7b74d32f27d8e8a85d912a7036096d2f85934b3c1e47
candidate record SHA-256: 855296eaed66f40485f0d560f22c691d4df650bdd82a7a849718f628977dfbc0
semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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