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第 9001 題：正模數同餘

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0017-09001 · q-20261013-advance-20261018-r05-modular-congruence-0051

原題與已知條件

固定模數。操作=modeq-add-preservation；資料={"n":2,"a":1,"b":3,"c":3,"d":7}。請依 [n,[a,b],[c,d],premises,[result_remainders],conclusion,implication] 的欄序回答。

  • G001 — 固定模數。操作=modeq-add-preservation；資料={"n":2,"a":1,"b":3,"c":3,"d":7}。請依 [n,[a,b],[c,d],premises,[result_remainders],conclusion,implication] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

fixed natural modulus candidate=2

操作後

positive modulus=是

條件：無

同餘在同一正模數下以餘數比較，不等於數值相等。乘法保持同餘不表示可無條件取消共同因子。

步驟識別與依賴

規則：fixed_positive_modulus_scope · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

a remainder:natural dividend=1;positive divisor=2

操作後

1=0·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

b remainder:natural dividend=3;positive divisor=2

操作後

3=1·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

c remainder:natural dividend=3;positive divisor=2

操作後

3=1·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

d remainder:natural dividend=7;positive divisor=2

操作後

7=3·2+1

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

combined left value := sum(1, 3)

操作後

combined left value = 4

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

combined right value := sum(3, 7)

操作後

combined right value = 10

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

combined left remainder:natural dividend=4;positive divisor=2

操作後

4=2·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

combined right remainder:natural dividend=10;positive divisor=2

操作後

10=5·2+0

條件：無

正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。

步驟識別與依賴

規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

a,b remainders=[1, 1];c,d remainders=[1, 1]

操作後

both premises=是;conclusion=是

條件：無

先各核兩個前提，再獨立算和或積的兩個餘數；前提不成立不表示結論一定不成立。

步驟識別與依賴

規則：modular_premises_and_conclusion_separate · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

first quotient difference := sub(0, 1)

操作後

first quotient difference = -1

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

second quotient difference := sub(1, 3)

操作後

second quotient difference = -2

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

sum difference multiplier := sum(-1, -2)

操作後

sum difference multiplier = -3

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

combined difference := sub(4, 10)

操作後

combined difference = -6

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

modulus times difference multiplier := mul(2, -3)

操作後

modulus times difference multiplier = -6

條件：無

依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

combined difference=-6;integer multiplier=-3;modulus=2

操作後

difference=n*multiplier=-6

條件：無

相同餘數相減後，a−b=n(qa−qb)、c−d=n(qc−qd)。加法直接相加；乘法用ac−bd=a(c−d)+d(a−b)。乘數可為負整數，不需取消共同因子。

步驟識別與依賴

規則：applicable_modular_preservation_witness · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

premises=是;conclusion=是

操作後

material implication=是

條件：無

前提為假時材料蘊涵為真只是其真值定義，不是取得可套用的保持定理前提。

步驟識別與依賴

規則：modular_implication_not_applicable_premise · 依賴：G001, S016

逐步反向核對

  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 modulus times difference multiplier，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined difference，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sum difference multiplier，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second quotient difference，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first quotient difference，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined right value，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined left value，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(2, [1, 3], [3, 7], 是, [0, 0], 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 1d5802501fa90eea01a58ad6121015b17ac8097e9c3e996012977375706b1c17
  • candidate record SHA-256: 5b402a7c91d809383b68503bc338c4337f6fa373dafcdf7572ea26240ab06818
  • semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
  • question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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