S001 · implies
操作前
fixed natural modulus candidate=5
操作後
positive modulus=是
條件：無
同餘在同一正模數下以餘數比較，不等於數值相等。乘法保持同餘不表示可無條件取消共同因子。
步驟識別與依賴
規則：fixed_positive_modulus_scope · 依賴：G001
第 9054 題：正模數同餘
R0017-09054 · q-20261013-advance-20261018-r05-modular-congruence-0079
原題與已知條件
固定模數。操作=modeq-mul-preservation；資料={"n":5,"a":4,"b":9,"c":9,"d":19}。請依 [n,[a,b],[c,d],premises,[result_remainders],conclusion,implication] 的欄序回答。
G001— 固定模數。操作=modeq-mul-preservation；資料={"n":5,"a":4,"b":9,"c":9,"d":19}。請依 [n,[a,b],[c,d],premises,[result_remainders],conclusion,implication] 的欄序回答。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · implies
操作前
a remainder:natural dividend=4;positive divisor=5
操作後
4=0·5+4
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S001
S003 · implies
操作前
b remainder:natural dividend=9;positive divisor=5
操作後
9=1·5+4
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
c remainder:natural dividend=9;positive divisor=5
操作後
9=1·5+4
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S003
S005 · implies
操作前
d remainder:natural dividend=19;positive divisor=5
操作後
19=3·5+4
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S004
S006 · calculation
操作前
combined left value := mul(4, 9)
操作後
combined left value = 36
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
S007 · calculation
操作前
combined right value := mul(9, 19)
操作後
combined right value = 171
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
S008 · implies
操作前
combined left remainder:natural dividend=36;positive divisor=5
操作後
36=7·5+1
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S007
S009 · implies
操作前
combined right remainder:natural dividend=171;positive divisor=5
操作後
171=34·5+1
條件：無
正除數下完整列商餘等式，0≤r<divisor；不把取模0當可求值。
步驟識別與依賴
規則：positive_euclidean_division · 依賴：G001, S008
S010 · implies
操作前
a,b remainders=[4, 4];c,d remainders=[4, 4]
操作後
both premises=是;conclusion=是
條件：無
先各核兩個前提，再獨立算和或積的兩個餘數；前提不成立不表示結論一定不成立。
步驟識別與依賴
規則：modular_premises_and_conclusion_separate · 依賴：G001, S009
S011 · calculation
操作前
first quotient difference := sub(0, 1)
操作後
first quotient difference = -1
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
S012 · calculation
操作前
second quotient difference := sub(1, 3)
操作後
second quotient difference = -2
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
S013 · calculation
操作前
product difference first term := mul(4, -2)
操作後
product difference first term = -8
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
S014 · calculation
操作前
product difference second term := mul(19, -1)
操作後
product difference second term = -19
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
S015 · calculation
操作前
product difference multiplier := sum(-8, -19)
操作後
product difference multiplier = -27
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
S016 · calculation
操作前
combined difference := sub(36, 171)
操作後
combined difference = -135
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
S017 · calculation
操作前
modulus times difference multiplier := mul(5, -27)
操作後
modulus times difference multiplier = -135
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
S018 · implies
操作前
combined difference=-135;integer multiplier=-27;modulus=5
操作後
difference=n*multiplier=-135
條件：無
相同餘數相減後，a−b=n(qa−qb)、c−d=n(qc−qd)。加法直接相加；乘法用ac−bd=a(c−d)+d(a−b)。乘數可為負整數，不需取消共同因子。
步驟識別與依賴
規則：applicable_modular_preservation_witness · 依賴：G001, S017
S019 · implies
操作前
premises=是;conclusion=是
操作後
material implication=是
條件：無
前提為假時材料蘊涵為真只是其真值定義，不是取得可套用的保持定理前提。
步驟識別與依賴
規則：modular_implication_not_applicable_premise · 依賴：G001, S018
逐步反向核對
S019· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S018· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 modulus times difference multiplier，不以小數近似替代。S016· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined difference，不以小數近似替代。S015· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product difference multiplier，不以小數近似替代。S014· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product difference second term，不以小數近似替代。S013· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product difference first term，不以小數近似替代。S012· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second quotient difference，不以小數近似替代。S011· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first quotient difference，不以小數近似替代。S010· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined right value，不以小數近似替代。S006· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined left value，不以小數近似替代。S005· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
結論
(5, [4, 9], [9, 19], 是, [1, 1], 是, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 19520b327f2cc860db48c8412b9a235dc1e413f3dec0fea8569a5514d67b75aecandidate record SHA-256: c88c11c7e8cc882078d495cec35f961e803134270eff9011ce28e1f042e48eabsemantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED