R0017-09477 · q-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-0002
完整有限拓撲與總映射。操作=continuity-single-preimage；資料={"n":4,"m":4,"opens_x":[[],[1],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]],"opens_y":[[],[1],[1,2],[0,1,2],[0,1,2,3]],"images":[1,0,2,3],"target_open":[1]}。請依 [n,m,target_open,preimage,preimage_open] 欄序回答。
G001 — 完整有限拓撲與總映射。操作=continuity-single-preimage；資料={"n":4,"m":4,"opens_x":[[],[1],[0,1],[0,1,2],[0,1,2,3]],"opens_y":[[],[1],[1,2],[0,1,2],[0,1,2,3]],"images":[1,0,2,3],"target_open":[1]}。請依 [n,m,target_open,preimage,preimage_open] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
space=X;n=4;raw family=[[], [1], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
操作後
universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [1], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
條件：無
每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。
規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001
操作前
space=X;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是
操作後
topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無
條件：無
四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。
規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S001
操作前
space=Y;n=4;raw family=[[], [1], [1, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
操作後
universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [1], [1, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
條件：無
每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。
規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001, S002
操作前
space=Y;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是
操作後
topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無
條件：無
四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。
規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S003
操作前
f:Fin(4)->Fin(4);whole images=[1, 0, 2, 3]
操作後
all original image entries typed;source labels retained
條件：無
即使本題只問一個空集逆像，也先核整張總表每格合型；保留原來源索引，不依查詢需求丟棄非法格。
規則：whole_topological_total_map_guard · 依賴：G001, S004
操作前
declared target open=[1];target family=[[], [1], [1, 2], [0, 1, 2], [0, 1, 2, 3]]
操作後
target-open prerequisite satisfied;one row is not whole continuity
條件：無
此欄先要求給定集合真的是目標開集；只驗這一個逆像成功，不表示映射完整連續。
規則：single_preimage_not_complete_continuity · 依賴：G001, S005
操作前
map=f single query;images=[1, 0, 2, 3];target open=[1]
操作後
full preimage=[0];source open=否
條件：無
逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。
規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S006
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(4, 4, [1], [0], 否)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 11d5a1b7bb7d45defe2e47c1660a5c3e4480454e8b89aabb1c3e700112d387d1candidate record SHA-256: 8b892c245b4f94803f08973e372bde3b9b215a9300ea85ae4129b6d9fc611f65semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED