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第 9409 題：有限拓撲連續性

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0017-09409 · q-20261013-advance-20261019-r03-topological-continuity-0059

原題與已知條件

完整有限拓撲與總映射。操作=continuity-composition；資料={"n":4,"m":4,"k":4,"opens_x":[[],[0],[0,3],[0,1,3],[0,1,2,3]],"opens_y":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,3],[1,3],[0,1,3],[2,3],[0,2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]],"opens_z":[[],[0,1,2,3]],"images_f":[0,3,1,2],"images_g":[0,3,1,2]}。請依 [f,g,g_after_f,f_continuous,g_continuous,composition_continuous,composition_rows] 欄序回答。

  • G001 — 完整有限拓撲與總映射。操作=continuity-composition；資料={"n":4,"m":4,"k":4,"opens_x":[[],[0],[0,3],[0,1,3],[0,1,2,3]],"opens_y":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,3],[1,3],[0,1,3],[2,3],[0,2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]],"opens_z":[[],[0,1,2,3]],"images_f":[0,3,1,2],"images_g":[0,3,1,2]}。請依 [f,g,g_after_f,f_continuous,g_continuous,composition_continuous,composition_rows] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

space=X;n=4;raw family=[[], [0], [0, 3], [0, 1, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [0], [0, 3], [0, 1, 3], [0, 1, 2, 3]]

條件：無

每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

space=X;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是

操作後

topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無

條件：無

四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

space=Y;n=4;raw family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

條件：無

每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

space=Y;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是

操作後

topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無

條件：無

四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

f:Fin(4)->Fin(4);whole images=[0, 3, 1, 2]

操作後

all original image entries typed;source labels retained

條件：無

即使本題只問一個空集逆像，也先核整張總表每格合型；保留原來源索引，不依查詢需求丟棄非法格。

步驟識別與依賴

規則：whole_topological_total_map_guard · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

space=Z;n=4;raw family=[[], [0, 1, 2, 3]]

操作後

universe=[0, 1, 2, 3];canonical opens=[[], [0, 1, 2, 3]]

條件：無

每個候選先合型為同一Fin(n)的子集，去重元素及重複子集，再以二進位mask排序；開集族與底集合是不同層資料。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_normalize_relative_universe · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

space=Z;empty=是;full=是;union closed=是;intersection closed=是

操作後

topology=是;first union failure=無;first intersection failure=無

條件：無

四條件同時成立才是拓撲。底集合有限，所以不同開集也只有有限多個；任意聯集可約成有限不同成員的聯集，由二元閉合與空聯集得到。空交集需全集，無成員時二元條件真也不能略過空集／全集。

步驟識別與依賴

規則：finite_topology_axioms_joint_gate · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

g:Fin(4)->Fin(4);whole images=[0, 3, 1, 2]

操作後

all g entries typed before composing

條件：無

第二張總表也要包含所有原Y輸入的合法輸出，不只驗f會碰到的格。

步驟識別與依賴

規則：whole_second_map_before_composition · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

original x=0;f(x)=0;g images=[0, 3, 1, 2]

操作後

g(f(x))=0

條件：無

先用f取得Y標籤，再在完整合型g表查值；次序是g在f之後。

步驟識別與依賴

規則：topological_composition_source_lookup · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

original x=1;f(x)=3;g images=[0, 3, 1, 2]

操作後

g(f(x))=2

條件：無

先用f取得Y標籤，再在完整合型g表查值；次序是g在f之後。

步驟識別與依賴

規則：topological_composition_source_lookup · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

original x=2;f(x)=1;g images=[0, 3, 1, 2]

操作後

g(f(x))=3

條件：無

先用f取得Y標籤，再在完整合型g表查值；次序是g在f之後。

步驟識別與依賴

規則：topological_composition_source_lookup · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

original x=3;f(x)=2;g images=[0, 3, 1, 2]

操作後

g(f(x))=1

條件：無

先用f取得Y標籤，再在完整合型g表查值；次序是g在f之後。

步驟識別與依賴

規則：topological_composition_source_lookup · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[]

操作後

full preimage=[];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0]

操作後

full preimage=[0];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[1]

操作後

full preimage=[2];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0, 1]

操作後

full preimage=[0, 2];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[2]

操作後

full preimage=[3];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0, 2]

操作後

full preimage=[0, 3];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[1, 2]

操作後

full preimage=[2, 3];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0, 1, 2]

操作後

full preimage=[0, 2, 3];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[3]

操作後

full preimage=[1];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0, 3]

操作後

full preimage=[0, 1];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[1, 3]

操作後

full preimage=[1, 2];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0, 1, 3]

操作後

full preimage=[0, 1, 2];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[2, 3]

操作後

full preimage=[1, 3];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0, 2, 3]

操作後

full preimage=[0, 1, 3];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[1, 2, 3]

操作後

full preimage=[1, 2, 3];source open=否

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

map=f;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0, 1, 2, 3]

操作後

full preimage=[0, 1, 2, 3];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

map=f;all target opens=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]];all preimage rows=[[[], [], 是], [[0], [0], 是], [[1], [2], 否], [[0, 1], [0, 2], 否], [[2], [3], 否], [[0, 2], [0, 3], 是], [[1, 2], [2, 3], 否], [[0, 1, 2], [0, 2, 3], 否], [[3], [1], 否], [[0, 3], [0, 1], 否], [[1, 3], [1, 2], 否], [[0, 1, 3], [0, 1, 2], 否], [[2, 3], [1, 3], 否], [[0, 2, 3], [0, 1, 3], 是], [[1, 2, 3], [1, 2, 3], 否], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]]

操作後

continuous=否

條件：無

連續性要求每個目標開集的逆像都開；任一失敗即可否定，全數通過依完整有限拓撲資料才可肯定，不以單一成功列或點抽查代替。

步驟識別與依賴

規則：continuity_all_target_opens · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

map=g;images=[0, 3, 1, 2];target open=[]

操作後

full preimage=[];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

map=g;images=[0, 3, 1, 2];target open=[0, 1, 2, 3]

操作後

full preimage=[0, 1, 2, 3];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

map=g;all target opens=[[], [0, 1, 2, 3]];all preimage rows=[[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]]

操作後

continuous=是

條件：無

連續性要求每個目標開集的逆像都開；任一失敗即可否定，全數通過依完整有限拓撲資料才可肯定，不以單一成功列或點抽查代替。

步驟識別與依賴

規則：continuity_all_target_opens · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

map=g after f;images=[0, 2, 3, 1];target open=[]

操作後

full preimage=[];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

map=g after f;images=[0, 2, 3, 1];target open=[0, 1, 2, 3]

操作後

full preimage=[0, 1, 2, 3];source open=是

條件：無

逐一收集所有f(x)在U的原來源標籤，再查此完整集合是否在來源開集族；集合逆像不是反函數，不要求映射單射或滿射。

步驟識別與依賴

規則：complete_open_preimage_row · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

map=g after f;all target opens=[[], [0, 1, 2, 3]];all preimage rows=[[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]]

操作後

continuous=是

條件：無

連續性要求每個目標開集的逆像都開；任一失敗即可否定，全數通過依完整有限拓撲資料才可肯定，不以單一成功列或點抽查代替。

步驟識別與依賴

規則：continuity_all_target_opens · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

Z open=[];g preimage=[];f preimage of that=[]

操作後

composition preimage=[];set identity holds=是

條件：無

(g∘f)逆像U=f逆像(g逆像U)。若兩因子都連續，這給充分理由；若一因子不連續，仍按完整h逆像表判斷，不把前提失敗當成h不連續。

步驟識別與依賴

規則：composition_inverse_image_identity · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

Z open=[0, 1, 2, 3];g preimage=[0, 1, 2, 3];f preimage of that=[0, 1, 2, 3]

操作後

composition preimage=[0, 1, 2, 3];set identity holds=是

條件：無

(g∘f)逆像U=f逆像(g逆像U)。若兩因子都連續，這給充分理由；若一因子不連續，仍按完整h逆像表判斷，不把前提失敗當成h不連續。

步驟識別與依賴

規則：composition_inverse_image_identity · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

f continuous=否;g continuous=是

操作後

independently audited composition continuous=是

條件：無

完整保留三個判斷。合成可能連續，即使個別因子不連續；這不反駁兩個連續映射之合成連續的充分定理。

步驟識別與依賴

規則：composition_sufficient_not_necessary_premises · 依賴：G001, S037

逐步反向核對

  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

([0, 3, 1, 2], [0, 3, 1, 2], [0, 2, 3, 1], 否, 是, 是, [[[], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 95f5ec19fffcda7787931566772d8c3adfdf0081c2effa8ec3ae097563801a50
  • candidate record SHA-256: 04f44f6da50d8508168e9b49ee4d31a04dc8a2aecf795c63c787e5de9f71e515
  • semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8
  • question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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