R0017-09384 · q-20261013-advance-20261019-r06-asymptotic-resource-bound-0034
明示非負函數族。操作=asymptotic-polynomial-degree；資料={"coeffs_f":[8,3,0],"coeffs_g":[1,9,1,0]}。請依 [coeffs_f,coeffs_g,degree_f,degree_g,bigO,bigOmega,theta] 欄序回答。
G001 — 明示非負函數族。操作=asymptotic-polynomial-degree；資料={"coeffs_f":[8,3,0],"coeffs_g":[1,9,1,0]}。請依 [coeffs_f,coeffs_g,degree_f,degree_g,bigO,bigOmega,theta] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
fixed cost model;explicit nonnegative functions on natural n
操作後
O,Omega and Theta quantify positive constants over a full tail
條件：無
先固定成本模型與函數族。O要求存在C>0與N，使所有n≥N都滿足上界；Ω為對應正下界，Θ兩者同時。有限量測只描述有限窗口。
規則：full_tail_not_finite_benchmark_scope · 依賴：G001
操作前
f coefficient sum := sum(8, 3, 0)
操作後
f coefficient sum = 11
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
polynomial=f;original ascending coefficients=[8, 3, 0]
操作後
nonzero indices=[0, 1];degree=1;coefficient sum=11;leading coefficient/status=3
條件：無
保留原係數向量含尾端0；最高非零索引為次數，零多項式另記−1。非零且係數非負時，n≥1有leading*n^degree≤P(n)≤sum(coeff)*n^degree，故無高次消去。
規則：nonnegative_polynomial_degree_and_bounds · 依賴：G001, S002
操作前
g coefficient sum := sum(1, 9, 1, 0)
操作後
g coefficient sum = 11
條件：無
依本步原始操作數及指定次序精確計算，不用近似值或替換候選。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
polynomial=g;original ascending coefficients=[1, 9, 1, 0]
操作後
nonzero indices=[0, 1, 2];degree=2;coefficient sum=11;leading coefficient/status=1
條件：無
保留原係數向量含尾端0；最高非零索引為次數，零多項式另記−1。非零且係數非負時，n≥1有leading*n^degree≤P(n)≤sum(coeff)*n^degree，故無高次消去。
規則：nonnegative_polynomial_degree_and_bounds · 依賴：G001, S004
操作前
direction=f versus g;degrees=(1,2);sums=(11,11);leading=(3,1)
操作後
Big-O=是;argument=C=11,N=1;upper numerator <= 11*n^1 <= C*1*n^2 <= C*denominator
條件：無
逐一分零多項式與非零次數情況。成功給正C與完整尾界；失敗對任意所提C,N都指定可更大的整數n，不以有限反例或數值樣本代替量化。Ω的判斷以交換分子、分母的O等價表達，再倒取正常數。
規則：polynomial_quantified_upper_bound_case · 依賴：G001, S005
操作前
direction=g versus f (Omega);degrees=(2,1);sums=(11,11);leading=(1,3)
操作後
Big-O=否;argument=for any C>0,N choose integer n>=max(N,1) and n>C*11/1;positive exponent gap=1 forces numerator>C*denominator
條件：無
逐一分零多項式與非零次數情況。成功給正C與完整尾界；失敗對任意所提C,N都指定可更大的整數n，不以有限反例或數值樣本代替量化。Ω的判斷以交換分子、分母的O等價表達，再倒取正常數。
規則：polynomial_quantified_upper_bound_case · 依賴：G001, S006
操作前
O(f,g)=是;O(g,f)=否
操作後
O=是;Omega=否;Theta=否
條件：無
零對零時上下界0≤C*0都成立；零對非零只屬上界類，非零對零只屬下界類。非零多項式再比較次數，沒有把−1當一般非零常數次數。
規則：zero_polynomial_tail_class_separation · 依賴：G001, S007
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 g coefficient sum，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 f coefficient sum，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([8, 3, 0], [1, 9, 1, 0], 1, 2, 是, 否, 否)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: d87c1a0f0ee6a077308c234db75272b0b59ba239056cd54bb7a5ba6cb6887194candidate record SHA-256: 46afd10e50c7abcf7f0d4bca7ec16cf6f8a0be188a01f3a46ad28e40ad428275semantic review receipt SHA-256: abad28564830bb9b6ef069ca5a1aa128ce7b1a67a5cb8fe6d868a06db73bcfb8question-first witness SHA-256: 43126988479968837abe086263dac1b24c37463ad80e00d2e280a7b8e9036a04Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED