R0057-29488 · q-20261013-advance-20261022-r01-harmonic-oscillator-model-0063
無阻尼線性振子模型m x_second+k x=0。操作=oscillator-polynomial-residual；資料={"coefficients":[0,0,0],"mass":[1,1],"spring":[1,1],"x":0}。請依 [coefficients,x,position,acceleration,mass,spring,residual,zero_at_x] 欄序回答。
G001 — 無阻尼線性振子模型m x_second+k x=0。操作=oscillator-polynomial-residual；資料={"coefficients":[0,0,0],"mass":[1,1],"spring":[1,1],"x":0}。請依 [coefficients,x,position,acceleration,mass,spring,residual,zero_at_x] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-str22-oscillator-polynomial-residual, oscillator-polynomial-residual]
操作後
derived = [[coefficients, x, position, acceleration, mass, spring, residual, zero_at_x]]
條件：無
此銀行依原tuple欄序與hyphen operation。fraction約分、正分母且整數省略/1，與前輪舊契約不同；不改原中英快照或題意。
規則：STR22_exact_interface_and_source_ORDERED_tuple_roles · 依賴：G001
操作前
source roles = [Oscillator mass, [1, 1]]
操作後
derived = [1, 1, 1]
條件：無
原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。
規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [Oscillator spring, [1, 1]]
操作後
derived = [1, 1, 1]
條件：無
原rational必須二元pair且raw分子／分母各在±1e6、分母非0。先正分母與gcd約分；不能接受scalar或先約分再繞過raw輸入界。
規則：STR22_RAW_rational_PAIR_profile_and_sign_gcd_normalization · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [1, 1]
操作後
derived = [[是, 是], 是]
條件：無
無阻尼線性振子m*x_second+k*x=0先要求m,k皆嚴格正；qualification可有0／負值作No，不先abs或替換。
規則：Oscillator_BOTH_strict_model_qualifications_not_repaired · 依賴：G001, S003
操作前
Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient0 := mul(0, 1)
操作後
Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient0 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient1 := mul(0, 2)
操作後
Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient1 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Oscillator ORIGINAL second derivative coefficient0 := mul(0, 1)
操作後
Oscillator ORIGINAL second derivative coefficient0 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [[0, 0, 0]]
操作後
derived = [[0, 0], [0]]
條件：無
按升冪對每一項用d(c_i*x^i)=i*c_i*x^(i-1)兩次。保原coeff vector與trailing zeros；空derivative vector為零，不加constant/nonconstant限制或derived係數1000界。
規則：Oscillator_WHOLE_polynomial_differentiate_TWICE_ALL_coefficients · 依賴：G001, S007
操作前
Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree2 := mul(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree2 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
Oscillator ORIGINAL position Horner add degree2 := sum(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL position Horner add degree2 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree1 := mul(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree1 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
Oscillator ORIGINAL position Horner add degree1 := sum(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL position Horner add degree1 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree0 := mul(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree0 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Oscillator ORIGINAL position Horner add degree0 := sum(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL position Horner add degree0 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
Oscillator ORIGINAL acceleration Horner multiply degree0 := mul(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL acceleration Horner multiply degree0 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
Oscillator ORIGINAL acceleration Horner add degree0 := sum(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL acceleration Horner add degree0 = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [[0, 0, 0], [0], 0]
操作後
derived = [[0, 0]]
條件：無
同一指定x對原polynomial及二階導數完整Horner；整數evaluate本身無1e6 cap，後續原rational乘加才按來源profile。
規則：Oscillator_ORIGINAL_Horner_position_AND_acceleration_at_SAMEpoint · 依賴：G001, S016
操作前
Oscillator ORIGINAL mass times acceleration := mul(1, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL mass times acceleration = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
source roles = [Oscillator ORIGINAL mass times acceleration, mul, [1, 0]]
操作後
derived = [[1, 1], [0, 1], 0]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S018
操作前
Oscillator ORIGINAL spring times position := mul(1, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL spring times position = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
source roles = [Oscillator ORIGINAL spring times position, mul, [1, 0]]
操作後
derived = [[1, 1], [0, 1], 0]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S020
操作前
Oscillator ORIGINAL signed ODE residual := sum(0, 0)
操作後
Oscillator ORIGINAL signed ODE residual = 0
條件：無
精確代原操作數，不用浮點；只有明定的來源rational operations套自己的profile，額外教學整數算式不另縮原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
source roles = [Oscillator ORIGINAL signed ODE residual, sum, [0, 0]]
操作後
derived = [[1], [0, 1], 0]
條件：無
來源加法先取分母gcd，乘法先cross-cancel，再驗本步raw numerator與denominator各<=1e6，最後才約分；除法另先驗非零及reciprocal。不能誤用未消約乘積界，也不能先最終約分才驗界。
規則：STR22_EACH_SOURCE_rational_gcd_cross_cancel_THEN_RAW_gate · 依賴：G001, S022
操作前
source roles = [[0, 0, 0], 0, 1, 1]
操作後
derived = [0, 0, 0, 是]
條件：無
回代R(x)=m*p_second(x)+k*p(x)，保signed residual。R(x)=0只在本指定點吻合，非對整個interval的ODE solution，更不證stability。
規則：Oscillator_SINGLE_point_residual_zero_NOT_interval_solution · 依賴：G001, S023
S024 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S023 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL signed ODE residual，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL spring times position，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL mass times acceleration，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL acceleration Horner add degree0，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL acceleration Horner multiply degree0，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree0，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree0，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree1，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree1，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner add degree2，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL position Horner multiply degree2，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL second derivative coefficient0，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient1，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Oscillator ORIGINAL first derivative coefficient0，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S003 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S002 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。S001 · premise_and_result_audit — 依原完整資料反向核對每一座標／表項／配對與嚴格前提，不能只看最後答案。保全有限候選、一般理由、形式證明及發布的不同責任。([0, 0, 0], 0, 0, 0, 1, 1, 0, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: fa8fc71878eebd6a32fdcc6a5e7c83ffec8dea5a6b21501b340e54e0ca93a7aacandidate record SHA-256: 65c38c7924a3528e58b5ed6e2b6a02afae7a2755b24f839008a1cdc2c45ad17esemantic review receipt SHA-256: db445bb0caa8a249fcf78eadd2550b49b820e279cc80b2327f0d757d3ae920b6question-first witness SHA-256: 58d12a50ea9943c50b65927607347101b1ddaf692d62e091f2cae8a9f0362eb5Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED