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第 10982 題：有限子群與同態

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0020-10982 · q-20261013-advance-20261023-r03-subgroup-homomorphism-0007

原題與已知條件

完整有限群Cayley表。操作=subgroup-subset-closure；資料={"n":6,"table":[[0,1,2,3,4,5],[1,4,3,5,0,2],[2,3,1,4,5,0],[3,5,4,0,2,1],[4,0,5,2,1,3],[5,2,0,1,3,4]],"subset":[0,1,4]}。請依 [n,subset,closed] 欄序回答。

  • G001 — 完整有限群Cayley表。操作=subgroup-subset-closure；資料={"n":6,"table":[[0,1,2,3,4,5],[1,4,3,5,0,2],[2,3,1,4,5,0],[3,5,4,0,2,1],[4,0,5,2,1,3],[5,2,0,1,3,4]],"subset":[0,1,4]}。請依 [n,subset,closed] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

group=ambient;carrier Fin(6);complete Cayley table=[[0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 4, 3, 5, 0, 2], [2, 3, 1, 4, 5, 0], [3, 5, 4, 0, 2, 1], [4, 0, 5, 2, 1, 3], [5, 2, 0, 1, 3, 4]]

操作後

typed operation closure=是;all associativity failures=[]

條件：無

整張表先合型並核全部結合律三元組，不能只驗候選子集或同態碰到的格；此題要求已合格有限群。

步驟識別與依賴

規則：complete_group_table_closure_associativity · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

group=ambient;candidate identity=0;left products row=[0, 1, 2, 3, 4, 5];right products column=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

操作後

both sides equal carrier labels=是

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

group=ambient;candidate identity=1;left products row=[1, 4, 3, 5, 0, 2];right products column=[1, 4, 3, 5, 0, 2]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

group=ambient;candidate identity=2;left products row=[2, 3, 1, 4, 5, 0];right products column=[2, 3, 1, 4, 5, 0]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

group=ambient;candidate identity=3;left products row=[3, 5, 4, 0, 2, 1];right products column=[3, 5, 4, 0, 2, 1]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

group=ambient;candidate identity=4;left products row=[4, 0, 5, 2, 1, 3];right products column=[4, 0, 5, 2, 1, 3]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

group=ambient;candidate identity=5;left products row=[5, 2, 0, 1, 3, 4];right products column=[5, 2, 0, 1, 3, 4]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

group=ambient;element=0;derived identity=0;two-sided inverse candidates=[0]

操作後

inverse=0

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

group=ambient;element=1;derived identity=0;two-sided inverse candidates=[4]

操作後

inverse=4

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

group=ambient;element=2;derived identity=0;two-sided inverse candidates=[5]

操作後

inverse=5

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

group=ambient;element=3;derived identity=0;two-sided inverse candidates=[3]

操作後

inverse=3

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

group=ambient;element=4;derived identity=0;two-sided inverse candidates=[1]

操作後

inverse=1

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

group=ambient;element=5;derived identity=0;two-sided inverse candidates=[2]

操作後

inverse=2

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[0, 0];ambient product=0

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[0, 1];ambient product=1

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[0, 4];ambient product=4

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[1, 0];ambient product=1

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[1, 1];ambient product=4

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[1, 4];ambient product=0

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[4, 0];ambient product=4

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[4, 1];ambient product=0

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

subset=[0, 1, 4];ordered pair=[4, 4];ambient product=1

操作後

product stays in subset=是

條件：無

核全部候選有序對，並保留ambient表的行列角色；有限群且子集非空是本題前提。

步驟識別與依賴

規則：subset_every_ordered_product_closure · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

nonempty finite subset=[0, 1, 4];product closed=是

操作後

requested field records closure in this qualified finite group

條件：無

本欄只輸出乘法閉合。在有限群且非空前提下，閉合確可推出子群：元素冪有限重複給單位元與逆的正冪。另一題仍明列各義務，不在這裡誤說此有限情況閉合不足。

步驟識別與依賴

規則：finite_nonempty_closure_not_false_insufficiency_claim · 依賴：G001, S022

逐步反向核對

  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(6, [0, 1, 4], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: a6e8a02deccbf859a2a639ba8f006226794cca697286b165f21659e852887490
  • candidate record SHA-256: ae148aa9ae619783d1ca6e59242a7c20efb65f3423c48b73cde0ac8ca12af071
  • semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598f
  • question-first witness SHA-256: 3c23baa97a5933bc07b44f2257017ef4e845bf1429bd6f5381410681c43b97e4
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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