第 10950 題：有限子群與同態

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0020-10950 · q-20261013-advance-20261023-r03-subgroup-homomorphism-0100

原題與已知條件

完整有限群Cayley表。操作=subgroup-kernel-image；資料={"source_n":5,"source_table":[[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[1,4,3,0,2],[4,2,0,1,3],[0,1,2,3,4]],"target_n":5,"target_table":[[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[1,4,3,0,2],[4,2,0,1,3],[0,1,2,3,4]],"mapping":[2,0,3,1,4]}。請依 [source_n,target_n,mapping,kernel,image,injective] 欄序回答。

G001 — 完整有限群Cayley表。操作=subgroup-kernel-image；資料={"source_n":5,"source_table":[[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[1,4,3,0,2],[4,2,0,1,3],[0,1,2,3,4]],"target_n":5,"target_table":[[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[1,4,3,0,2],[4,2,0,1,3],[0,1,2,3,4]],"mapping":[2,0,3,1,4]}。請依 [source_n,target_n,mapping,kernel,image,injective] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-subgroup-homomorphism

逐步推導

S001 · implies

操作前

group=source;carrier Fin(5);complete Cayley table=[[2, 3, 1, 4, 0], [3, 0, 4, 2, 1], [1, 4, 3, 0, 2], [4, 2, 0, 1, 3], [0, 1, 2, 3, 4]]

操作後

typed operation closure=是;all associativity failures=[]

條件：無

整張表先合型並核全部結合律三元組，不能只驗候選子集或同態碰到的格；此題要求已合格有限群。

步驟識別與依賴

規則：complete_group_table_closure_associativity · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

group=source;candidate identity=0;left products row=[2, 3, 1, 4, 0];right products column=[2, 3, 1, 4, 0]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

group=source;candidate identity=1;left products row=[3, 0, 4, 2, 1];right products column=[3, 0, 4, 2, 1]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

group=source;candidate identity=2;left products row=[1, 4, 3, 0, 2];right products column=[1, 4, 3, 0, 2]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

group=source;candidate identity=3;left products row=[4, 2, 0, 1, 3];right products column=[4, 2, 0, 1, 3]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

group=source;candidate identity=4;left products row=[0, 1, 2, 3, 4];right products column=[0, 1, 2, 3, 4]

操作後

both sides equal carrier labels=是

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

group=source;element=0;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[3]

操作後

inverse=3

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

group=source;element=1;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[2]

操作後

inverse=2

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

group=source;element=2;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[1]

操作後

inverse=1

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

group=source;element=3;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[0]

操作後

inverse=0

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

group=source;element=4;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[4]

操作後

inverse=4

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

group=target;carrier Fin(5);complete Cayley table=[[2, 3, 1, 4, 0], [3, 0, 4, 2, 1], [1, 4, 3, 0, 2], [4, 2, 0, 1, 3], [0, 1, 2, 3, 4]]

操作後

typed operation closure=是;all associativity failures=[]

條件：無

整張表先合型並核全部結合律三元組，不能只驗候選子集或同態碰到的格；此題要求已合格有限群。

步驟識別與依賴

規則：complete_group_table_closure_associativity · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

group=target;candidate identity=0;left products row=[2, 3, 1, 4, 0];right products column=[2, 3, 1, 4, 0]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

group=target;candidate identity=1;left products row=[3, 0, 4, 2, 1];right products column=[3, 0, 4, 2, 1]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

group=target;candidate identity=2;left products row=[1, 4, 3, 0, 2];right products column=[1, 4, 3, 0, 2]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

group=target;candidate identity=3;left products row=[4, 2, 0, 1, 3];right products column=[4, 2, 0, 1, 3]

操作後

both sides equal carrier labels=否

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

group=target;candidate identity=4;left products row=[0, 1, 2, 3, 4];right products column=[0, 1, 2, 3, 4]

操作後

both sides equal carrier labels=是

條件：無

左右乘都須對每個x還原x，不能只看對角或預設單位元標籤0。

步驟識別與依賴

規則：derive_two_sided_group_identity · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

group=target;element=0;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[3]

操作後

inverse=3

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

group=target;element=1;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[2]

操作後

inverse=2

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

group=target;element=2;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[1]

操作後

inverse=1

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

group=target;element=3;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[0]

操作後

inverse=0

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

group=target;element=4;derived identity=4;two-sided inverse candidates=[4]

操作後

inverse=4

條件：無

按實際單位元查xy=e且yx=e，完整群前提保證唯一；不是把某個固定標籤當所有元素的逆。

步驟識別與依賴

規則：derive_group_inverses_from_actual_identity · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

source size=5;target size=5;whole mapping=[2, 0, 3, 1, 4]

操作後

all original mapping cells typed before product preservation

條件：無

完整總映射按原來源索引合型，再驗所有乘積；不由部分正確資料補造未給值。

步驟識別與依賴

規則：whole_group_mapping_type_guard · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source pair=[0, 0];source product=2;mapped operands=[2, 2]

操作後

f(source product)=3;target product=3;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

source pair=[0, 1];source product=3;mapped operands=[2, 0]

操作後

f(source product)=1;target product=1;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

source pair=[0, 2];source product=1;mapped operands=[2, 3]

操作後

f(source product)=0;target product=0;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

source pair=[0, 3];source product=4;mapped operands=[2, 1]

操作後

f(source product)=4;target product=4;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

source pair=[0, 4];source product=0;mapped operands=[2, 4]

操作後

f(source product)=2;target product=2;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

source pair=[1, 0];source product=3;mapped operands=[0, 2]

操作後

f(source product)=1;target product=1;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

source pair=[1, 1];source product=0;mapped operands=[0, 0]

操作後

f(source product)=2;target product=2;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

source pair=[1, 2];source product=4;mapped operands=[0, 3]

操作後

f(source product)=4;target product=4;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

source pair=[1, 3];source product=2;mapped operands=[0, 1]

操作後

f(source product)=3;target product=3;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

source pair=[1, 4];source product=1;mapped operands=[0, 4]

操作後

f(source product)=0;target product=0;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

source pair=[2, 0];source product=1;mapped operands=[3, 2]

操作後

f(source product)=0;target product=0;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

source pair=[2, 1];source product=4;mapped operands=[3, 0]

操作後

f(source product)=4;target product=4;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

source pair=[2, 2];source product=3;mapped operands=[3, 3]

操作後

f(source product)=1;target product=1;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

source pair=[2, 3];source product=0;mapped operands=[3, 1]

操作後

f(source product)=2;target product=2;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

source pair=[2, 4];source product=2;mapped operands=[3, 4]

操作後

f(source product)=3;target product=3;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

source pair=[3, 0];source product=4;mapped operands=[1, 2]

操作後

f(source product)=4;target product=4;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

source pair=[3, 1];source product=2;mapped operands=[1, 0]

操作後

f(source product)=3;target product=3;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

source pair=[3, 2];source product=0;mapped operands=[1, 3]

操作後

f(source product)=2;target product=2;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

source pair=[3, 3];source product=1;mapped operands=[1, 1]

操作後

f(source product)=0;target product=0;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

source pair=[3, 4];source product=3;mapped operands=[1, 4]

操作後

f(source product)=1;target product=1;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

source pair=[4, 0];source product=0;mapped operands=[4, 2]

操作後

f(source product)=2;target product=2;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

source pair=[4, 1];source product=1;mapped operands=[4, 0]

操作後

f(source product)=0;target product=0;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

source pair=[4, 2];source product=2;mapped operands=[4, 3]

操作後

f(source product)=3;target product=3;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

source pair=[4, 3];source product=3;mapped operands=[4, 1]

操作後

f(source product)=1;target product=1;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

source pair=[4, 4];source product=4;mapped operands=[4, 4]

操作後

f(source product)=4;target product=4;equal=是

條件：無

左路先在來源乘再映射，右路先各映射再在目標乘；完整列所有失配對，不推成單射或同構。

步驟識別與依賴

規則：homomorphism_every_source_product_pair · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

all bad source ordered pairs=[]

操作後

homomorphism=是

條件：無

保所有來源有序對才通過同態資格；一次失敗給反例，一次成功不給全稱。

步驟識別與依賴

規則：whole_homomorphism_audit · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

qualified homomorphism=[2, 0, 3, 1, 4];derived target identity=4

操作後

kernel source labels=[4];image=[0, 1, 2, 3, 4];injective=是

條件：無

kernel找映到目標真單位元者；像是所有不同映值。有限總映射的像數等於來源數才單射，常值同態不必單射。這是數學kernel，不是軟體kernel回執。

步驟識別與依賴

規則：kernel_image_after_qualified_homomorphism · 依賴：G001, S049

逐步反向核對

S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(5, 5, [2, 0, 3, 1, 4], [4], [0, 1, 2, 3, 4], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 0c7c0ce41de2c86f6bce497b78da9f1d46a2d5ea8d5b0f24e0729446d8c5328c
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semantic review receipt SHA-256: b4c47938fd38085d44967226cfa8337d61334455472e7307c60d3a488cef598f
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Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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