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第 10450 題：有限測度空間

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0019-10450 · q-20261013-advance-20261023-r05-sigma-algebra-measure-space-0075

原題與已知條件

完整有限載體與canonical集合族。操作=measure-measure-additivity-audit；資料={"n":7,"family":[[],[0,3,4],[1,2,5,6],[0,1,2,3,4,5,6]],"values":[[0,1],[25,51],[26,51],[1,1]]}。請依 [n,family,values,empty_zero,bad_disjoint_pairs,finite_countable_reduction] 欄序回答。

  • G001 — 完整有限載體與canonical集合族。操作=measure-measure-additivity-audit；資料={"n":7,"family":[[],[0,3,4],[1,2,5,6],[0,1,2,3,4,5,6]],"values":[[0,1],[25,51],[26,51],[1,1]]}。請依 [n,family,values,empty_zero,bad_disjoint_pairs,finite_countable_reduction] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

carrier Fin(7);raw family=[[], [0, 3, 4], [1, 2, 5, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]]

操作後

already canonical family=[[], [0, 3, 4], [1, 2, 5, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]]

條件：無

每個集合須已遞增且相異，族須已依mask排序且無重複。此協定拒絕非canonical資料，不重排後面的測度值來洗白對齊。

步驟識別與依賴

規則：finite_sigma_canonical_alignment_guard · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source member=[];fixed carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

complement=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

逐一取同一載體的補集，保留所有缺補集記錄。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_relative_complement · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

ordered left=[];ordered right=[]

操作後

union=[];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

ordered left=[];ordered right=[0, 3, 4]

操作後

union=[0, 3, 4];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

ordered left=[];ordered right=[1, 2, 5, 6]

操作後

union=[1, 2, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

ordered left=[];ordered right=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source member=[0, 3, 4];fixed carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

complement=[1, 2, 5, 6];present=是

條件：無

逐一取同一載體的補集，保留所有缺補集記錄。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_relative_complement · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

ordered left=[0, 3, 4];ordered right=[]

操作後

union=[0, 3, 4];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

ordered left=[0, 3, 4];ordered right=[0, 3, 4]

操作後

union=[0, 3, 4];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

ordered left=[0, 3, 4];ordered right=[1, 2, 5, 6]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

ordered left=[0, 3, 4];ordered right=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source member=[1, 2, 5, 6];fixed carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

complement=[0, 3, 4];present=是

條件：無

逐一取同一載體的補集，保留所有缺補集記錄。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_relative_complement · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

ordered left=[1, 2, 5, 6];ordered right=[]

操作後

union=[1, 2, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

ordered left=[1, 2, 5, 6];ordered right=[0, 3, 4]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

ordered left=[1, 2, 5, 6];ordered right=[1, 2, 5, 6]

操作後

union=[1, 2, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

ordered left=[1, 2, 5, 6];ordered right=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source member=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];fixed carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

complement=[];present=是

條件：無

逐一取同一載體的補集，保留所有缺補集記錄。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_relative_complement · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

ordered left=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

ordered left=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[0, 3, 4]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

ordered left=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[1, 2, 5, 6]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

ordered left=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是

條件：無

完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。

步驟識別與依賴

規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

empty present=是;full present=是;missing complements=[];missing unions=[]

操作後

finite countable reduction=是;sigma qualified=是

條件：無

固定有限載體只有有限多個不同子集，可數族的聯集等於有限不同成員的聯集，所以空／全集、補集與二元聯集檢查在此足夠。不能外推任意無限載體。

步驟識別與依賴

規則：finite_sigma_countable_union_reduction · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

canonical row index=0;set=[];raw rational=[0, 1]

操作後

aligned normalized measure=0;nonnegative=是

條件：無

原分母非零，正負號正規化後須非負；數值綁原canonical行，不能排序數值或拿另一集合的質量替代。

步驟識別與依賴

規則：measure_original_family_value_pairing · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

canonical row index=1;set=[0, 3, 4];raw rational=[25, 51]

操作後

aligned normalized measure=25/51;nonnegative=是

條件：無

原分母非零，正負號正規化後須非負；數值綁原canonical行，不能排序數值或拿另一集合的質量替代。

步驟識別與依賴

規則：measure_original_family_value_pairing · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

canonical row index=2;set=[1, 2, 5, 6];raw rational=[26, 51]

操作後

aligned normalized measure=26/51;nonnegative=是

條件：無

原分母非零，正負號正規化後須非負；數值綁原canonical行，不能排序數值或拿另一集合的質量替代。

步驟識別與依賴

規則：measure_original_family_value_pairing · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

canonical row index=3;set=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];raw rational=[1, 1]

操作後

aligned normalized measure=1;nonnegative=是

條件：無

原分母非零，正負號正規化後須非負；數值綁原canonical行，不能排序數值或拿另一集合的質量替代。

步驟識別與依賴

規則：measure_original_family_value_pairing · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

empty-set measure=0

操作後

empty-set zero=是

條件：無

空集零測度是獨立輸出義務，不能只靠總量或某些可加性樣本略過。

步驟識別與依賴

規則：measure_empty_zero_separate_obligation · 依賴：G001, S026

S028 · calculation

操作前

measure sum rows0,0 := sum(0, 0)

操作後

measure sum rows0,0 = 0

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[], []];union=[];mu(union)=0;mu(A)=0;mu(B)=0

操作後

sum=0;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S028

S030 · calculation

操作前

measure sum rows0,1 := sum(0, 25/51)

操作後

measure sum rows0,1 = 25/51

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[], [0, 3, 4]];union=[0, 3, 4];mu(union)=25/51;mu(A)=0;mu(B)=25/51

操作後

sum=25/51;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

measure sum rows0,2 := sum(0, 26/51)

操作後

measure sum rows0,2 = 26/51

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[], [1, 2, 5, 6]];union=[1, 2, 5, 6];mu(union)=26/51;mu(A)=0;mu(B)=26/51

操作後

sum=26/51;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S032

S034 · calculation

操作前

measure sum rows0,3 := sum(0, 1)

操作後

measure sum rows0,3 = 1

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]];union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=1;mu(A)=0;mu(B)=1

操作後

sum=1;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S034

S036 · calculation

操作前

measure sum rows1,0 := sum(25/51, 0)

操作後

measure sum rows1,0 = 25/51

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[0, 3, 4], []];union=[0, 3, 4];mu(union)=25/51;mu(A)=25/51;mu(B)=0

操作後

sum=25/51;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S036

S038 · calculation

操作前

measure sum rows1,2 := sum(25/51, 26/51)

操作後

measure sum rows1,2 = 1

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[0, 3, 4], [1, 2, 5, 6]];union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=1;mu(A)=25/51;mu(B)=26/51

操作後

sum=1;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S038

S040 · calculation

操作前

measure sum rows2,0 := sum(26/51, 0)

操作後

measure sum rows2,0 = 26/51

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[1, 2, 5, 6], []];union=[1, 2, 5, 6];mu(union)=26/51;mu(A)=26/51;mu(B)=0

操作後

sum=26/51;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

measure sum rows2,1 := sum(26/51, 25/51)

操作後

measure sum rows2,1 = 1

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[1, 2, 5, 6], [0, 3, 4]];union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=1;mu(A)=26/51;mu(B)=25/51

操作後

sum=1;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S042

S044 · calculation

操作前

measure sum rows3,0 := sum(1, 0)

操作後

measure sum rows3,0 = 1

條件：無

按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

disjoint ordered pair=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], []];union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=1;mu(A)=1;mu(B)=0

操作後

sum=1;additivity=是

條件：無

含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。

步驟識別與依賴

規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

sigma qualified=是;empty zero=是;all bad disjoint pairs=[]

操作後

finite countable-additivity reduction=是

條件：無

有限載體的兩兩互斥非空集合至多n個，剩下可數多項皆空集且質量0；完整有限互斥可加性因此足以處理此載體的可數情形，不是任意無限測度空間的證明。

步驟識別與依賴

規則：finite_measure_countable_disjoint_reduction · 依賴：G001, S045

逐步反向核對

  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows3,0，不以小數近似替代。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows2,1，不以小數近似替代。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows2,0，不以小數近似替代。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows1,2，不以小數近似替代。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows1,0，不以小數近似替代。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows0,3，不以小數近似替代。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows0,2，不以小數近似替代。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows0,1，不以小數近似替代。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows0,0，不以小數近似替代。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(7, [[], [0, 3, 4], [1, 2, 5, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]], [0, 25/51, 26/51, 1], 是, [], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 8738a0b1de47036a3150ba69ca1e2d77bd39d11b5b2f83b147af9ec0ee57c14a
  • candidate record SHA-256: 1afb9c3032233b2d29b51eadbfbe467a6bf8db37a9cc923d2c929ecf67ee673d
  • semantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5
  • question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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