R0019-10451 · q-20261013-advance-20261023-r05-sigma-algebra-measure-space-0076
完整有限載體與canonical集合族。操作=measure-probability-measure-audit；資料={"n":7,"family":[[],[0],[1,2,3,4,5,6],[0,1,2,3,4,5,6]],"values":[[0,1],[1,3],[2,3],[1,1]]}。請依 [n,family,values,empty_zero,bad_disjoint_pairs,total,finite_countable_reduction,probability_measure] 欄序回答。
G001 — 完整有限載體與canonical集合族。操作=measure-probability-measure-audit；資料={"n":7,"family":[[],[0],[1,2,3,4,5,6],[0,1,2,3,4,5,6]],"values":[[0,1],[1,3],[2,3],[1,1]]}。請依 [n,family,values,empty_zero,bad_disjoint_pairs,total,finite_countable_reduction,probability_measure] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
carrier Fin(7);raw family=[[], [0], [1, 2, 3, 4, 5, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]]
操作後
already canonical family=[[], [0], [1, 2, 3, 4, 5, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]]
條件：無
每個集合須已遞增且相異，族須已依mask排序且無重複。此協定拒絕非canonical資料，不重排後面的測度值來洗白對齊。
規則：finite_sigma_canonical_alignment_guard · 依賴：G001
操作前
source member=[];fixed carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
complement=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
逐一取同一載體的補集，保留所有缺補集記錄。
規則：sigma_every_relative_complement · 依賴：G001, S001
操作前
ordered left=[];ordered right=[]
操作後
union=[];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S002
操作前
ordered left=[];ordered right=[0]
操作後
union=[0];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S003
操作前
ordered left=[];ordered right=[1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
union=[1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S004
操作前
ordered left=[];ordered right=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S005
操作前
source member=[0];fixed carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
complement=[1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
逐一取同一載體的補集，保留所有缺補集記錄。
規則：sigma_every_relative_complement · 依賴：G001, S006
操作前
ordered left=[0];ordered right=[]
操作後
union=[0];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S007
操作前
ordered left=[0];ordered right=[0]
操作後
union=[0];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S008
操作前
ordered left=[0];ordered right=[1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S009
操作前
ordered left=[0];ordered right=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S010
操作前
source member=[1, 2, 3, 4, 5, 6];fixed carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
complement=[0];present=是
條件：無
逐一取同一載體的補集，保留所有缺補集記錄。
規則：sigma_every_relative_complement · 依賴：G001, S011
操作前
ordered left=[1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[]
操作後
union=[1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S012
操作前
ordered left=[1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[0]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S013
操作前
ordered left=[1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
union=[1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S014
操作前
ordered left=[1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S015
操作前
source member=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];fixed carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
complement=[];present=是
條件：無
逐一取同一載體的補集，保留所有缺補集記錄。
規則：sigma_every_relative_complement · 依賴：G001, S016
操作前
ordered left=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S017
操作前
ordered left=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[0]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S018
操作前
ordered left=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S019
操作前
ordered left=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];ordered right=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
操作後
union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];present=是
條件：無
完整核所有有序對，反向對也依協定保留；不只列第一個反例或抽樣聯集。
規則：sigma_every_ordered_binary_union · 依賴：G001, S020
操作前
empty present=是;full present=是;missing complements=[];missing unions=[]
操作後
finite countable reduction=是;sigma qualified=是
條件：無
固定有限載體只有有限多個不同子集，可數族的聯集等於有限不同成員的聯集，所以空／全集、補集與二元聯集檢查在此足夠。不能外推任意無限載體。
規則：finite_sigma_countable_union_reduction · 依賴：G001, S021
操作前
canonical row index=0;set=[];raw rational=[0, 1]
操作後
aligned normalized measure=0;nonnegative=是
條件：無
原分母非零，正負號正規化後須非負；數值綁原canonical行，不能排序數值或拿另一集合的質量替代。
規則：measure_original_family_value_pairing · 依賴：G001, S022
操作前
canonical row index=1;set=[0];raw rational=[1, 3]
操作後
aligned normalized measure=1/3;nonnegative=是
條件：無
原分母非零，正負號正規化後須非負；數值綁原canonical行，不能排序數值或拿另一集合的質量替代。
規則：measure_original_family_value_pairing · 依賴：G001, S023
操作前
canonical row index=2;set=[1, 2, 3, 4, 5, 6];raw rational=[2, 3]
操作後
aligned normalized measure=2/3;nonnegative=是
條件：無
原分母非零，正負號正規化後須非負；數值綁原canonical行，不能排序數值或拿另一集合的質量替代。
規則：measure_original_family_value_pairing · 依賴：G001, S024
操作前
canonical row index=3;set=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];raw rational=[1, 1]
操作後
aligned normalized measure=1;nonnegative=是
條件：無
原分母非零，正負號正規化後須非負；數值綁原canonical行，不能排序數值或拿另一集合的質量替代。
規則：measure_original_family_value_pairing · 依賴：G001, S025
操作前
empty-set measure=0
操作後
empty-set zero=是
條件：無
空集零測度是獨立輸出義務，不能只靠總量或某些可加性樣本略過。
規則：measure_empty_zero_separate_obligation · 依賴：G001, S026
操作前
measure sum rows0,0 := sum(0, 0)
操作後
measure sum rows0,0 = 0
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
disjoint ordered pair=[[], []];union=[];mu(union)=0;mu(A)=0;mu(B)=0
操作後
sum=0;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S028
操作前
measure sum rows0,1 := sum(0, 1/3)
操作後
measure sum rows0,1 = 1/3
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029
操作前
disjoint ordered pair=[[], [0]];union=[0];mu(union)=1/3;mu(A)=0;mu(B)=1/3
操作後
sum=1/3;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S030
操作前
measure sum rows0,2 := sum(0, 2/3)
操作後
measure sum rows0,2 = 2/3
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
disjoint ordered pair=[[], [1, 2, 3, 4, 5, 6]];union=[1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=2/3;mu(A)=0;mu(B)=2/3
操作後
sum=2/3;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S032
操作前
measure sum rows0,3 := sum(0, 1)
操作後
measure sum rows0,3 = 1
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033
操作前
disjoint ordered pair=[[], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]];union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=1;mu(A)=0;mu(B)=1
操作後
sum=1;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S034
操作前
measure sum rows1,0 := sum(1/3, 0)
操作後
measure sum rows1,0 = 1/3
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035
操作前
disjoint ordered pair=[[0], []];union=[0];mu(union)=1/3;mu(A)=1/3;mu(B)=0
操作後
sum=1/3;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S036
操作前
measure sum rows1,2 := sum(1/3, 2/3)
操作後
measure sum rows1,2 = 1
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037
操作前
disjoint ordered pair=[[0], [1, 2, 3, 4, 5, 6]];union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=1;mu(A)=1/3;mu(B)=2/3
操作後
sum=1;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S038
操作前
measure sum rows2,0 := sum(2/3, 0)
操作後
measure sum rows2,0 = 2/3
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039
操作前
disjoint ordered pair=[[1, 2, 3, 4, 5, 6], []];union=[1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=2/3;mu(A)=2/3;mu(B)=0
操作後
sum=2/3;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S040
操作前
measure sum rows2,1 := sum(2/3, 1/3)
操作後
measure sum rows2,1 = 1
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041
操作前
disjoint ordered pair=[[1, 2, 3, 4, 5, 6], [0]];union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=1;mu(A)=2/3;mu(B)=1/3
操作後
sum=1;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S042
操作前
measure sum rows3,0 := sum(1, 0)
操作後
measure sum rows3,0 = 1
條件：無
按本步原始操作數及指定次序精確計算，保留有號值與分母條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043
操作前
disjoint ordered pair=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], []];union=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];mu(union)=1;mu(A)=1;mu(B)=0
操作後
sum=1;additivity=是
條件：無
含空集的有序對也要核；只對互斥集合用二元可加性，所有失敗都保留。
規則：measure_all_disjoint_ordered_pairs · 依賴：G001, S044
操作前
sigma qualified=是;empty zero=是;all bad disjoint pairs=[]
操作後
finite countable-additivity reduction=是
條件：無
有限載體的兩兩互斥非空集合至多n個，剩下可數多項皆空集且質量0；完整有限互斥可加性因此足以處理此載體的可數情形，不是任意無限測度空間的證明。
規則：finite_measure_countable_disjoint_reduction · 依賴：G001, S045
操作前
finite measure qualified=是;total carrier measure=1
操作後
probability measure=是
條件：無
機率測度還要全載體質量恰1；合法總量2的測度不是機率，總量1也不會彌補不可加或空集質量非零。
規則：probability_normalization_after_measure_obligations · 依賴：G001, S046
S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows3,0，不以小數近似替代。S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows2,1，不以小數近似替代。S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows2,0，不以小數近似替代。S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows1,2，不以小數近似替代。S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows1,0，不以小數近似替代。S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows0,3，不以小數近似替代。S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows0,2，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows0,1，不以小數近似替代。S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 measure sum rows0,0，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(7, [[], [0], [1, 2, 3, 4, 5, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]], [0, 1/3, 2/3, 1], 是, [], 1, 是, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 85fdf8bca6cf4bf6ff1f67e8e5da727e7f4363b0ee6d51a6c425d4496b13060dcandidate record SHA-256: d0869a98efb0bd056d43431e890f46a01885198f6f522337c095b244b2a591ddsemantic review receipt SHA-256: eeb35dc5daab92234bf72827627392b47f38ead4cfb574d4373bebc43c09fbf5question-first witness SHA-256: 3cf8e0d3a00b0df1994db2bfde81f4a31b382e170bdda83ea3d0b68da64e8419Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED