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第 11451 題：有限可測函數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 58

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R0021-11451 · q-20261013-advance-20261024-r02-measurable-function-0026

原題與已知條件

完整有限來源與目標sigma代數。操作=measurable-map-audit；資料={"source_n":4,"target_n":4,"source_sigma":[[],[0],[1,2,3],[0,1,2,3]],"target_sigma":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,3],[1,3],[0,1,3],[2,3],[0,2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]],"mapping":[0,0,0,0]}。請依 [source_n,target_n,mapping,preimage_rows,measurable] 欄序回答。

  • G001 — 完整有限來源與目標sigma代數。操作=measurable-map-audit；資料={"source_n":4,"target_n":4,"source_sigma":[[],[0],[1,2,3],[0,1,2,3]],"target_sigma":[[],[0],[1],[0,1],[2],[0,2],[1,2],[0,1,2],[3],[0,3],[1,3],[0,1,3],[2,3],[0,2,3],[1,2,3],[0,1,2,3]],"mapping":[0,0,0,0]}。請依 [source_n,target_n,mapping,preimage_rows,measurable] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

given map source:carrier Fin(4);complete canonical sigma family=[[], [0], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

empty member=是;whole member=是;missing complements=[];missing pair unions=[]

條件：無

先核完整且按位元遮罩排序的集合族：空集、全集、補集與所有兩兩聯集。有限族的可數聯集只含有限種不同成員，可化為有限聯集，故這些封閉條件足夠。

步驟識別與依賴

規則：qualify_complete_finite_sigma_algebra · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

given map target:carrier Fin(4);complete canonical sigma family=[[], [0], [1], [0, 1], [2], [0, 2], [1, 2], [0, 1, 2], [3], [0, 3], [1, 3], [0, 1, 3], [2, 3], [0, 2, 3], [1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]]

操作後

empty member=是;whole member=是;missing complements=[];missing pair unions=[]

條件：無

先核完整且按位元遮罩排序的集合族：空集、全集、補集與所有兩兩聯集。有限族的可數聯集只含有限種不同成員，可化為有限聯集，故這些封閉條件足夠。

步驟識別與依賴

規則：qualify_complete_finite_sigma_algebra · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

given map:mapping=[0, 0, 0, 0];source Fin(4);target Fin(4)

操作後

complete total map qualified;preimages,not forward images

條件：無

每個來源標籤都恰有一個合法目標值；可測性檢查方向是目標可測集的逆像屬來源sigma。

步驟識別與依賴

規則：measurable_total_map_and_direction · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

given map:target event index=0;event=[];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[否, 否, 否, 否];preimage=[];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

given map:target event index=1;event=[0];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[是, 是, 是, 是];preimage=[0, 1, 2, 3];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

given map:target event index=2;event=[1];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[否, 否, 否, 否];preimage=[];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

given map:target event index=3;event=[0, 1];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[是, 是, 是, 是];preimage=[0, 1, 2, 3];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

given map:target event index=4;event=[2];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[否, 否, 否, 否];preimage=[];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

given map:target event index=5;event=[0, 2];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[是, 是, 是, 是];preimage=[0, 1, 2, 3];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

given map:target event index=6;event=[1, 2];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[否, 否, 否, 否];preimage=[];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

given map:target event index=7;event=[0, 1, 2];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[是, 是, 是, 是];preimage=[0, 1, 2, 3];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

given map:target event index=8;event=[3];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[否, 否, 否, 否];preimage=[];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

given map:target event index=9;event=[0, 3];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[是, 是, 是, 是];preimage=[0, 1, 2, 3];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

given map:target event index=10;event=[1, 3];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[否, 否, 否, 否];preimage=[];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

given map:target event index=11;event=[0, 1, 3];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[是, 是, 是, 是];preimage=[0, 1, 2, 3];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

given map:target event index=12;event=[2, 3];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[否, 否, 否, 否];preimage=[];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

given map:target event index=13;event=[0, 2, 3];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[是, 是, 是, 是];preimage=[0, 1, 2, 3];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

given map:target event index=14;event=[1, 2, 3];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[否, 否, 否, 否];preimage=[];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

given map:target event index=15;event=[0, 1, 2, 3];mapping=[0, 0, 0, 0]

操作後

source membership tests=[是, 是, 是, 是];preimage=[0, 1, 2, 3];in source sigma=是

條件：無

依來源標籤逐項判f(x)是否在此目標集合，收集所有成立的x，再查完整來源集合族；不只查單點或非空集合。

步驟識別與依賴

規則：every_target_event_preimage_membership · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

given map:all target preimage rows=[[[], [], 是], [[0], [0, 1, 2, 3], 是], [[1], [], 是], [[0, 1], [0, 1, 2, 3], 是], [[2], [], 是], [[0, 2], [0, 1, 2, 3], 是], [[1, 2], [], 是], [[0, 1, 2], [0, 1, 2, 3], 是], [[3], [], 是], [[0, 3], [0, 1, 2, 3], 是], [[1, 3], [], 是], [[0, 1, 3], [0, 1, 2, 3], 是], [[2, 3], [], 是], [[0, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是], [[1, 2, 3], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]]

操作後

measurable=是

條件：無

全部目標可測集都通過才可測；任一失敗給精確否證。這個有限空間完整核查不附帶連續、可積或保測結論。

步驟識別與依賴

規則：measurability_all_target_events_conjunction · 依賴：G001, S019

逐步反向核對

  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(4, 4, [0, 0, 0, 0], [[[], [], 是], [[0], [0, 1, 2, 3], 是], [[1], [], 是], [[0, 1], [0, 1, 2, 3], 是], [[2], [], 是], [[0, 2], [0, 1, 2, 3], 是], [[1, 2], [], 是], [[0, 1, 2], [0, 1, 2, 3], 是], [[3], [], 是], [[0, 3], [0, 1, 2, 3], 是], [[1, 3], [], 是], [[0, 1, 3], [0, 1, 2, 3], 是], [[2, 3], [], 是], [[0, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是], [[1, 2, 3], [], 是], [[0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3], 是]], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: b277ff6db5806f8085a3b710fdf9d047d11be2dda186a65e865d51ff2e85fa45
  • candidate record SHA-256: 5c9df7c8aaffee16fb4ec18d887734b75c20a2a7c94448a874b04d7c7860bbc4
  • semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258
  • question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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