R0021-11120 · q-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-0045
量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-box-certificate；資料={"bounds":[-21,22,-20,23]}。請依 [bounds,universal_scope,convex] 欄序回答。
G001 — 量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-box-certificate；資料={"bounds":[-21,22,-20,23]}。請依 [bounds,universal_scope,convex] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
box coordinate0:closed bounds=[-21,22];arbitrary x,y in these bounds;arbitrary 0<=lambda<=1
操作後
lambda>=0;1-lambda>=0;x--21>=0;y--21>=0;22-x>=0;22-y>=0
條件：無
任取兩個區間成員與任意容許lambda，四個端點差都非負；上下界相等也合法。
規則：universal_interval_arbitrary_members · 依賴：G001
操作前
z=lambda*x+(1-lambda)*y;lambda+(1-lambda)=1;bounds=[-21,22]
操作後
z--21=lambda*(x--21)+(1-lambda)*(y--21)>=0
條件：無
用權重和為1展開z減下界，成為兩個非負乘積之和；不是抽樣代值。
規則：universal_interval_lower_identity · 依賴：G001, S001
操作前
z=lambda*x+(1-lambda)*y;lambda+(1-lambda)=1;bounds=[-21,22]
操作後
22-z=lambda*(22-x)+(1-lambda)*(22-y)>=0
條件：無
同理上界減z也是非負和，因此同時有下界≤z≤上界。
規則：universal_interval_upper_identity · 依賴：G001, S002
操作前
box coordinate0:both symbolic slack identities hold for every chosen x,y,lambda
操作後
all x,y in [-21,22] and all lambda in [0,1] give z in [-21,22]
條件：無
任選的端點與lambda未加特殊限制，故可釋放所有量詞，得到整個閉區間凸性。
規則：universal_interval_quantifier_discharge · 依賴：G001, S003
操作前
box coordinate1:closed bounds=[-20,23];arbitrary x,y in these bounds;arbitrary 0<=lambda<=1
操作後
lambda>=0;1-lambda>=0;x--20>=0;y--20>=0;23-x>=0;23-y>=0
條件：無
任取兩個區間成員與任意容許lambda，四個端點差都非負；上下界相等也合法。
規則：universal_interval_arbitrary_members · 依賴：G001, S004
操作前
z=lambda*x+(1-lambda)*y;lambda+(1-lambda)=1;bounds=[-20,23]
操作後
z--20=lambda*(x--20)+(1-lambda)*(y--20)>=0
條件：無
用權重和為1展開z減下界，成為兩個非負乘積之和；不是抽樣代值。
規則：universal_interval_lower_identity · 依賴：G001, S005
操作前
z=lambda*x+(1-lambda)*y;lambda+(1-lambda)=1;bounds=[-20,23]
操作後
23-z=lambda*(23-x)+(1-lambda)*(23-y)>=0
條件：無
同理上界減z也是非負和，因此同時有下界≤z≤上界。
規則：universal_interval_upper_identity · 依賴：G001, S006
操作前
box coordinate1:both symbolic slack identities hold for every chosen x,y,lambda
操作後
all x,y in [-20,23] and all lambda in [0,1] give z in [-20,23]
條件：無
任選的端點與lambda未加特殊限制，故可釋放所有量詞，得到整個閉區間凸性。
規則：universal_interval_quantifier_discharge · 依賴：G001, S007
操作前
box bounds=[-21, 22, -20, 23];both coordinate interval certificates hold with the same arbitrary lambda
操作後
both coordinates remain in their intervals;whole closed box convex=是
條件：無
對相同任意lambda逐座標套區間證書，兩條件同時成立即仍在方盒；零寬度不例外。
規則：box_coordinatewise_universal_conjunction · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([-21, 22, -20, 23], coordinatewise interval certificate for every lambda in [0,1], 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: dc992ddc9f264ac39d61d4c1c808572a7f90c3183366efe4c7c97595bdd705b3candidate record SHA-256: 8b9f181c49fd258cd8f2860c77b83fb8e70234822534cf2aa379883ef5bdb782semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED