第 11170 題：凸集合證書與反例

原題與已知條件

量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-halfspace-combination；資料={"normal":[1,1],"bound":21,"left":[0,0],"right":[20,0],"lambda":[20,22]}。請依 [normal,bound,left,right,left_dot,right_dot,lambda,point,point_dot,inside] 欄序回答。

• G001 — 量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-halfspace-combination；資料={"normal":[1,1],"bound":21,"left":[0,0],"right":[20,0],"lambda":[20,22]}。請依 [normal,bound,left,right,left_dot,right_dot,lambda,point,point_dot,inside] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-convex-set

逐步推導

left endpoint dot term0 := mul(1, 0)

left endpoint dot term0 = 0

left endpoint dot term1 := mul(1, 0)

left endpoint dot term1 = 0

left endpoint dot sum := sum(0, 0)

left endpoint dot sum = 0

right endpoint dot term0 := mul(1, 20)

right endpoint dot term0 = 20

right endpoint dot term1 := mul(1, 0)

right endpoint dot term1 = 0

right endpoint dot sum := sum(20, 0)

right endpoint dot sum = 20

normal=[1, 1];bound=21;left dot=0;right dot=20

both endpoints satisfy the closed halfspace inequality

halfspace point complementary weight := sub(1, 10/11)

halfspace point complementary weight = 1/11

halfspace point:raw lambda=[20, 22];lambda=10/11;one-minus-lambda=1/11

in_closed_unit_interval=是;lambda weights left

halfspace point:ordered vectors=[[0, 0], [20, 0]];aligned weights=[10/11, 1/11]

dimension=2;preserve duplicates and order

halfspace point coordinate0 term0 := mul(10/11, 0)

halfspace point coordinate0 term0 = 0

halfspace point coordinate0 term1 := mul(1/11, 20)

halfspace point coordinate0 term1 = 20/11

halfspace point coordinate0 sum := sum(0, 20/11)

halfspace point coordinate0 sum = 20/11

halfspace point coordinate1 term0 := mul(10/11, 0)

halfspace point coordinate1 term0 = 0

halfspace point coordinate1 term1 := mul(1/11, 0)

halfspace point coordinate1 term1 = 0

halfspace point coordinate1 sum := sum(0, 0)

halfspace point coordinate1 sum = 0

combined point dot term0 := mul(1, 20/11)

combined point dot term0 = 20/11

combined point dot term1 := mul(1, 0)

combined point dot term1 = 0

combined point dot sum := sum(20/11, 0)

combined point dot sum = 20/11

halfspace bound slack := sub(21, 20/11)

halfspace bound slack = 211/11

normal dot z=20/11;endpoint dots=(0,20);lambda=10/11;bound=21

normal dot z=lambda*0+(1-lambda)*20<=21;inside=是

逐步反向核對

• S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace bound slack，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot sum，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot term1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined point dot term0，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 term1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate1 term0，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 term1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point coordinate0 term0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 halfspace point complementary weight，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot term1，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right endpoint dot term0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot sum，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot term1，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left endpoint dot term0，不以小數近似替代。

結論

([1, 1], 21, [0, 0], [20, 0], 0, 20, 10/11, [20/11, 0], 20/11, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。