第 11138 題：凸集合證書與反例

本頁導覽

原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0021-11138 · q-20261013-advance-20261024-r07-convex-set-0088

原題與已知條件

量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-finite-midpoint-counterexample；資料={"points":[[0,0],[26,0],[0,26]],"left":[26,0],"right":[0,26]}。請依 [points,left,right,midpoint,midpoint_present,nonconvex_witness] 欄序回答。

G001 — 量化所有端點與所有lambda in [0,1]的凸性語義。操作=convexset-finite-midpoint-counterexample；資料={"points":[[0,0],[26,0],[0,26]],"left":[26,0],"right":[0,26]}。請依 [points,left,right,midpoint,midpoint_present,nonconvex_witness] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-convex-set

逐步推導

S001 · implies

操作前

ordered finite point set=[[0, 0], [26, 0], [0, 26]];left=[26, 0];right=[0, 26]

操作後

both endpoints belong;choose lambda=1/2

條件：無

反例需兩端點本來都屬集合；固定合法lambda=1/2算精確中點，不靠圖形目測。

步驟識別與依賴

規則：midpoint_member_premises · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

midpoint coordinate0 numerator := sum(26, 0)

操作後

midpoint coordinate0 numerator = 26

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

midpoint coordinate0 := div(26, 2)

操作後

midpoint coordinate0 = 13

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

midpoint coordinate1 numerator := sum(0, 26)

操作後

midpoint coordinate1 numerator = 26

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

midpoint coordinate1 := div(26, 2)

操作後

midpoint coordinate1 = 13

條件：無

按本步已指定的角色逐項精確運算；保留符號、分母與原始配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

candidate point index=0;point=[0, 0];midpoint=[13, 13]

操作後

all coordinates equal=否

條件：無

逐一比集合所有點，全部座標同值才算同一點，不能只比一個座標。

步驟識別與依賴

規則：midpoint_complete_set_comparison · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

candidate point index=1;point=[26, 0];midpoint=[13, 13]

操作後

all coordinates equal=否

條件：無

逐一比集合所有點，全部座標同值才算同一點，不能只比一個座標。

步驟識別與依賴

規則：midpoint_complete_set_comparison · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

candidate point index=2;point=[0, 26];midpoint=[13, 13]

操作後

all coordinates equal=否

條件：無

逐一比集合所有點，全部座標同值才算同一點，不能只比一個座標。

步驟識別與依賴

規則：midpoint_complete_set_comparison · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

all point comparisons=[否, 否, 否]

操作後

midpoint present=否;this nonconvex witness=是

條件：無

中點缺席給一個精確反例即可否定凸性；中點存在只表示這次反例失敗，不證集合凸。

步驟識別與依賴

規則：midpoint_failed_counterexample_not_convexity · 依賴：G001, S008

逐步反向核對

S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 midpoint coordinate1，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 midpoint coordinate1 numerator，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 midpoint coordinate0，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 midpoint coordinate0 numerator，不以小數近似替代。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[0, 0], [26, 0], [0, 26]], [26, 0], [0, 26], [13, 13], 否, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: bee3e31194bc61c560148c7da8f07a9e776a2388c6e67ed7d6ada8a1927eda88
candidate record SHA-256: 42feb29e3a35485fc1e8eae8b1c92854cd8c1f3d5f51b5413459ad61465e39ea
semantic review receipt SHA-256: 47d23d3735987d68e27733b051bdfa80a3616d44fb223b82bf2e6c8e46d49258
question-first witness SHA-256: a857db558000724020d2d5e815cb6bc3e2c9e2933df295bf33eb478d3c695139
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

同源完整 JSON