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第 11734 題：邊界值問題

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0022-11734 · q-20261013-advance-20261025-r01-boundary-value-problem-0009

原題與已知條件

內部PDE責任與矩形邊界資料分開。操作=bvp-interior-pde-identity；資料={"coefficients":[-4,1,-2,1,1,1],"source":5}。請依 [coefficients,equation,laplacian,source,residual,interior_identity,scope] 欄序回答。

  • G001 — 內部PDE責任與矩形邊界資料分開。操作=bvp-interior-pde-identity；資料={"coefficients":[-4,1,-2,1,1,1],"source":5}。請依 [coefficients,equation,laplacian,source,residual,interior_identity,scope] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

original coefficients=[-4, 1, -2, 1, 1, 1];basis=[1,x,y,x^2,xy,y^2]

操作後

u(x,y)=(-4)+(1)*x+(-2)*y+(1)*x^2+(1)*x*y+(1)*y^2

條件：無

六個係數按固定單項式順序讀，不與單變量二次式的[a,b,c]降冪次序混用。

步驟識別與依賴

規則：bivariate_scalar_polynomial_basis_roles · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

u_xx constant := mul(2, 1)

操作後

u_xx constant = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

u_yy constant := mul(2, 1)

操作後

u_yy constant = 2

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

u coefficients=[-4, 1, -2, 1, 1, 1];u_x=c1+2*c3*x+c4*y;u_y=c2+c4*x+2*c5*y

操作後

u_xx=2;u_xy=1;u_yy=2

條件：無

以固定另一座標的切片規則逐項微分：x的一次項再微分成常數，xy交叉項只貢獻c4；這是多項式恆等式，不是由一般混偏導交換假設。

步驟識別與依賴

規則：polynomial_second_partials_explicit_monomials · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

interior Laplacian := sum(2, 2)

操作後

interior Laplacian = 4

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

interior constant signed residual := sub(4, 5)

操作後

interior constant signed residual = -1

條件：無

依本步指定的原始角色與已算中間量精確運算；保留正負號、分母及係數次序。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

u coefficients=[-4, 1, -2, 1, 1, 1];constant Laplacian=4;source=5

操作後

constant residual=-1;interior polynomial identity=否

條件：無

u_xx+u_yy在此候選為常數，常數殘差零才是宣告的符號恆等；這一步沒有檢查任何邊界，也不是一般Poisson解存在唯一性證明。

步驟識別與依賴

規則：interior_identity_separate_boundary_obligation · 依賴：G001, S006

逐步反向核對

  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interior constant signed residual，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interior Laplacian，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u_yy constant，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u_xx constant，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-4, 1, -2, 1, 1, 1], u_xx+u_yy=source, 4, 5, -1, 否, interior_only)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 6ee97ad500a426b7dc0e9b024da14e42ef1bbbf292e1d01d261edf626913a5cf
  • candidate record SHA-256: 708e3e517e02d28ede5c3777662cfe711a571df5a9df59f1b1cc97b0323f18e8
  • semantic review receipt SHA-256: 94ec4350cf8b5e5c6c7701d536126eef20acb3a213e873ace4f5346d256b8fac
  • question-first witness SHA-256: 0beba165ffd367a7c96de3aa58344d572d01434cd2ef772fbb00342c1f50b01b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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