第 13045 題：實線性映射

原題與已知條件

來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-affine-qualification；資料={"matrix":[[7,2,-3],[2,-7,-2]],"bias":[5,2]}。請依 [matrix,bias,T_zero,linear,boundary] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-affine-qualification；資料={"matrix":[[7,2,-3],[2,-7,-2]],"bias":[5,2]}。請依 [matrix,bias,T_zero,linear,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-general-linear-map

逐步推導

zero input matrix image:matrix=[[7, 2, -3], [2, -7, -2]];input=[0, 0, 0]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

zero input matrix image row0 column0 term := mul(7, 0)

zero input matrix image row0 column0 term = 0

zero input matrix image row0 column1 term := mul(2, 0)

zero input matrix image row0 column1 term = 0

zero input matrix image row0 column2 term := mul(-3, 0)

zero input matrix image row0 column2 term = 0

zero input matrix image row0 sum := sum(0, 0, 0)

zero input matrix image row0 sum = 0

zero input matrix image row1 column0 term := mul(2, 0)

zero input matrix image row1 column0 term = 0

zero input matrix image row1 column1 term := mul(-7, 0)

zero input matrix image row1 column1 term = 0

zero input matrix image row1 column2 term := mul(-2, 0)

zero input matrix image row1 column2 term = 0

zero input matrix image row1 sum := sum(0, 0, 0)

zero input matrix image row1 sum = 0

T zero coordinate0 plus bias := sum(0, 5)

T zero coordinate0 plus bias = 5

T zero coordinate1 plus bias := sum(0, 2)

T zero coordinate1 plus bias = 2

affine map T(v)=A*v+bias;bias=[5, 2];T(0)=[5, 2]

linear=否;zero bias leaves the universal matrix formula

逐步反向核對

• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T zero coordinate1 plus bias，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T zero coordinate0 plus bias，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero input matrix image row1 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero input matrix image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero input matrix image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero input matrix image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero input matrix image row0 sum，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero input matrix image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero input matrix image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 zero input matrix image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[7, 2, -3], [2, -7, -2]], [5, 2], [5, 2], 否, nonzero_translation_is_not_linear)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。