第 13017 題：實線性映射

原題與已知條件

來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-additivity-witness；資料={"matrix":[[4,-1,-1],[-1,-4,-4]],"bias":[0,0],"u":[1,-1,-1],"v":[0,1,-2]}。請依 [u,v,bias,T_u_plus_v,T_u_plus_T_v,difference,additive] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-additivity-witness；資料={"matrix":[[4,-1,-1],[-1,-4,-4]],"bias":[0,0],"u":[1,-1,-1],"v":[0,1,-2]}。請依 [u,v,bias,T_u_plus_v,T_u_plus_T_v,difference,additive] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-general-linear-map

逐步推導

u plus v coordinate0 first scaled := mul(1, 1)

u plus v coordinate0 first scaled = 1

u plus v coordinate0 second scaled := mul(1, 0)

u plus v coordinate0 second scaled = 0

u plus v coordinate0 sum := sum(1, 0)

u plus v coordinate0 sum = 1

u plus v coordinate1 first scaled := mul(1, -1)

u plus v coordinate1 first scaled = -1

u plus v coordinate1 second scaled := mul(1, 1)

u plus v coordinate1 second scaled = 1

u plus v coordinate1 sum := sum(-1, 1)

u plus v coordinate1 sum = 0

u plus v coordinate2 first scaled := mul(1, -1)

u plus v coordinate2 first scaled = -1

u plus v coordinate2 second scaled := mul(1, -2)

u plus v coordinate2 second scaled = -2

u plus v coordinate2 sum := sum(-1, -2)

u plus v coordinate2 sum = -3

matrix of u plus v:matrix=[[4, -1, -1], [-1, -4, -4]];input=[1, 0, -3]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of u plus v row0 column0 term := mul(4, 1)

matrix of u plus v row0 column0 term = 4

matrix of u plus v row0 column1 term := mul(-1, 0)

matrix of u plus v row0 column1 term = 0

matrix of u plus v row0 column2 term := mul(-1, -3)

matrix of u plus v row0 column2 term = 3

matrix of u plus v row0 sum := sum(4, 0, 3)

matrix of u plus v row0 sum = 7

matrix of u plus v row1 column0 term := mul(-1, 1)

matrix of u plus v row1 column0 term = -1

matrix of u plus v row1 column1 term := mul(-4, 0)

matrix of u plus v row1 column1 term = 0

matrix of u plus v row1 column2 term := mul(-4, -3)

matrix of u plus v row1 column2 term = 12

matrix of u plus v row1 sum := sum(-1, 0, 12)

matrix of u plus v row1 sum = 11

matrix of u:matrix=[[4, -1, -1], [-1, -4, -4]];input=[1, -1, -1]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of u row0 column0 term := mul(4, 1)

matrix of u row0 column0 term = 4

matrix of u row0 column1 term := mul(-1, -1)

matrix of u row0 column1 term = 1

matrix of u row0 column2 term := mul(-1, -1)

matrix of u row0 column2 term = 1

matrix of u row0 sum := sum(4, 1, 1)

matrix of u row0 sum = 6

matrix of u row1 column0 term := mul(-1, 1)

matrix of u row1 column0 term = -1

matrix of u row1 column1 term := mul(-4, -1)

matrix of u row1 column1 term = 4

matrix of u row1 column2 term := mul(-4, -1)

matrix of u row1 column2 term = 4

matrix of u row1 sum := sum(-1, 4, 4)

matrix of u row1 sum = 7

matrix of v:matrix=[[4, -1, -1], [-1, -4, -4]];input=[0, 1, -2]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of v row0 column0 term := mul(4, 0)

matrix of v row0 column0 term = 0

matrix of v row0 column1 term := mul(-1, 1)

matrix of v row0 column1 term = -1

matrix of v row0 column2 term := mul(-1, -2)

matrix of v row0 column2 term = 2

matrix of v row0 sum := sum(0, -1, 2)

matrix of v row0 sum = 1

matrix of v row1 column0 term := mul(-1, 0)

matrix of v row1 column0 term = 0

matrix of v row1 column1 term := mul(-4, 1)

matrix of v row1 column1 term = -4

matrix of v row1 column2 term := mul(-4, -2)

matrix of v row1 column2 term = 8

matrix of v row1 sum := sum(0, -4, 8)

matrix of v row1 sum = 4

affine lhs coordinate0 := sum(7, 0)

affine lhs coordinate0 = 7

T u coordinate0 := sum(6, 0)

T u coordinate0 = 6

T v coordinate0 := sum(1, 0)

T v coordinate0 = 1

affine rhs coordinate0 := sum(6, 1)

affine rhs coordinate0 = 7

additivity signed residual0 := sub(7, 7)

additivity signed residual0 = 0

affine lhs coordinate1 := sum(11, 0)

affine lhs coordinate1 = 11

T u coordinate1 := sum(7, 0)

T u coordinate1 = 7

T v coordinate1 := sum(4, 0)

T v coordinate1 = 4

affine rhs coordinate1 := sum(7, 4)

affine rhs coordinate1 = 11

additivity signed residual1 := sub(11, 11)

additivity signed residual1 = 0

bias=[0, 0];T(u+v)=[7, 11];T(u)+T(v)=[7, 11]

lhs-rhs=[0, 0]=-bias;this instance additive=是

逐步反向核對

• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 additivity signed residual1，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine rhs coordinate1，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T v coordinate1，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T u coordinate1，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine lhs coordinate1，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 additivity signed residual0，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine rhs coordinate0，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T v coordinate0，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T u coordinate0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine lhs coordinate0，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 sum，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 sum，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 sum，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 second scaled，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 first scaled，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。

結論

([1, -1, -1], [0, 1, -2], [0, 0], [7, 11], [7, 11], [0, 0], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。