第 13019 題：實線性映射

原題與已知條件

來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-additivity-witness；資料={"matrix":[[6,1,5],[1,-6,6]],"bias":[4,1],"u":[1,1,1],"v":[2,1,0]}。請依 [u,v,bias,T_u_plus_v,T_u_plus_T_v,difference,additive] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-additivity-witness；資料={"matrix":[[6,1,5],[1,-6,6]],"bias":[4,1],"u":[1,1,1],"v":[2,1,0]}。請依 [u,v,bias,T_u_plus_v,T_u_plus_T_v,difference,additive] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-general-linear-map

逐步推導

u plus v coordinate0 first scaled := mul(1, 1)

u plus v coordinate0 first scaled = 1

u plus v coordinate0 second scaled := mul(1, 2)

u plus v coordinate0 second scaled = 2

u plus v coordinate0 sum := sum(1, 2)

u plus v coordinate0 sum = 3

u plus v coordinate1 first scaled := mul(1, 1)

u plus v coordinate1 first scaled = 1

u plus v coordinate1 second scaled := mul(1, 1)

u plus v coordinate1 second scaled = 1

u plus v coordinate1 sum := sum(1, 1)

u plus v coordinate1 sum = 2

u plus v coordinate2 first scaled := mul(1, 1)

u plus v coordinate2 first scaled = 1

u plus v coordinate2 second scaled := mul(1, 0)

u plus v coordinate2 second scaled = 0

u plus v coordinate2 sum := sum(1, 0)

u plus v coordinate2 sum = 1

matrix of u plus v:matrix=[[6, 1, 5], [1, -6, 6]];input=[3, 2, 1]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of u plus v row0 column0 term := mul(6, 3)

matrix of u plus v row0 column0 term = 18

matrix of u plus v row0 column1 term := mul(1, 2)

matrix of u plus v row0 column1 term = 2

matrix of u plus v row0 column2 term := mul(5, 1)

matrix of u plus v row0 column2 term = 5

matrix of u plus v row0 sum := sum(18, 2, 5)

matrix of u plus v row0 sum = 25

matrix of u plus v row1 column0 term := mul(1, 3)

matrix of u plus v row1 column0 term = 3

matrix of u plus v row1 column1 term := mul(-6, 2)

matrix of u plus v row1 column1 term = -12

matrix of u plus v row1 column2 term := mul(6, 1)

matrix of u plus v row1 column2 term = 6

matrix of u plus v row1 sum := sum(3, -12, 6)

matrix of u plus v row1 sum = -3

matrix of u:matrix=[[6, 1, 5], [1, -6, 6]];input=[1, 1, 1]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of u row0 column0 term := mul(6, 1)

matrix of u row0 column0 term = 6

matrix of u row0 column1 term := mul(1, 1)

matrix of u row0 column1 term = 1

matrix of u row0 column2 term := mul(5, 1)

matrix of u row0 column2 term = 5

matrix of u row0 sum := sum(6, 1, 5)

matrix of u row0 sum = 12

matrix of u row1 column0 term := mul(1, 1)

matrix of u row1 column0 term = 1

matrix of u row1 column1 term := mul(-6, 1)

matrix of u row1 column1 term = -6

matrix of u row1 column2 term := mul(6, 1)

matrix of u row1 column2 term = 6

matrix of u row1 sum := sum(1, -6, 6)

matrix of u row1 sum = 1

matrix of v:matrix=[[6, 1, 5], [1, -6, 6]];input=[2, 1, 0]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of v row0 column0 term := mul(6, 2)

matrix of v row0 column0 term = 12

matrix of v row0 column1 term := mul(1, 1)

matrix of v row0 column1 term = 1

matrix of v row0 column2 term := mul(5, 0)

matrix of v row0 column2 term = 0

matrix of v row0 sum := sum(12, 1, 0)

matrix of v row0 sum = 13

matrix of v row1 column0 term := mul(1, 2)

matrix of v row1 column0 term = 2

matrix of v row1 column1 term := mul(-6, 1)

matrix of v row1 column1 term = -6

matrix of v row1 column2 term := mul(6, 0)

matrix of v row1 column2 term = 0

matrix of v row1 sum := sum(2, -6, 0)

matrix of v row1 sum = -4

affine lhs coordinate0 := sum(25, 4)

affine lhs coordinate0 = 29

T u coordinate0 := sum(12, 4)

T u coordinate0 = 16

T v coordinate0 := sum(13, 4)

T v coordinate0 = 17

affine rhs coordinate0 := sum(16, 17)

affine rhs coordinate0 = 33

additivity signed residual0 := sub(29, 33)

additivity signed residual0 = -4

affine lhs coordinate1 := sum(-3, 1)

affine lhs coordinate1 = -2

T u coordinate1 := sum(1, 1)

T u coordinate1 = 2

T v coordinate1 := sum(-4, 1)

T v coordinate1 = -3

affine rhs coordinate1 := sum(2, -3)

affine rhs coordinate1 = -1

additivity signed residual1 := sub(-2, -1)

additivity signed residual1 = -1

bias=[4, 1];T(u+v)=[29, -2];T(u)+T(v)=[33, -1]

lhs-rhs=[-4, -1]=-bias;this instance additive=否

逐步反向核對

• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 additivity signed residual1，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine rhs coordinate1，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T v coordinate1，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T u coordinate1，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine lhs coordinate1，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 additivity signed residual0，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine rhs coordinate0，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T v coordinate0，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T u coordinate0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine lhs coordinate0，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 sum，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 sum，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 sum，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 second scaled，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 first scaled，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。

結論

([1, 1, 1], [2, 1, 0], [4, 1], [29, -2], [33, -1], [-4, -1], 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。