第 13022 題：實線性映射

原題與已知條件

來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-additivity-witness；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]],"bias":[2,-3],"u":[1,-1,-3],"v":[5,1,-1]}。請依 [u,v,bias,T_u_plus_v,T_u_plus_T_v,difference,additive] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-additivity-witness；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]],"bias":[2,-3],"u":[1,-1,-3],"v":[5,1,-1]}。請依 [u,v,bias,T_u_plus_v,T_u_plus_T_v,difference,additive] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-general-linear-map

逐步推導

u plus v coordinate0 first scaled := mul(1, 1)

u plus v coordinate0 first scaled = 1

u plus v coordinate0 second scaled := mul(1, 5)

u plus v coordinate0 second scaled = 5

u plus v coordinate0 sum := sum(1, 5)

u plus v coordinate0 sum = 6

u plus v coordinate1 first scaled := mul(1, -1)

u plus v coordinate1 first scaled = -1

u plus v coordinate1 second scaled := mul(1, 1)

u plus v coordinate1 second scaled = 1

u plus v coordinate1 sum := sum(-1, 1)

u plus v coordinate1 sum = 0

u plus v coordinate2 first scaled := mul(1, -3)

u plus v coordinate2 first scaled = -3

u plus v coordinate2 second scaled := mul(1, -1)

u plus v coordinate2 second scaled = -1

u plus v coordinate2 sum := sum(-3, -1)

u plus v coordinate2 sum = -4

matrix of u plus v:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[6, 0, -4]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of u plus v row0 column0 term := mul(9, 6)

matrix of u plus v row0 column0 term = 54

matrix of u plus v row0 column1 term := mul(-3, 0)

matrix of u plus v row0 column1 term = 0

matrix of u plus v row0 column2 term := mul(3, -4)

matrix of u plus v row0 column2 term = -12

matrix of u plus v row0 sum := sum(54, 0, -12)

matrix of u plus v row0 sum = 42

matrix of u plus v row1 column0 term := mul(-1, 6)

matrix of u plus v row1 column0 term = -6

matrix of u plus v row1 column1 term := mul(-9, 0)

matrix of u plus v row1 column1 term = 0

matrix of u plus v row1 column2 term := mul(-5, -4)

matrix of u plus v row1 column2 term = 20

matrix of u plus v row1 sum := sum(-6, 0, 20)

matrix of u plus v row1 sum = 14

matrix of u:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[1, -1, -3]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of u row0 column0 term := mul(9, 1)

matrix of u row0 column0 term = 9

matrix of u row0 column1 term := mul(-3, -1)

matrix of u row0 column1 term = 3

matrix of u row0 column2 term := mul(3, -3)

matrix of u row0 column2 term = -9

matrix of u row0 sum := sum(9, 3, -9)

matrix of u row0 sum = 3

matrix of u row1 column0 term := mul(-1, 1)

matrix of u row1 column0 term = -1

matrix of u row1 column1 term := mul(-9, -1)

matrix of u row1 column1 term = 9

matrix of u row1 column2 term := mul(-5, -3)

matrix of u row1 column2 term = 15

matrix of u row1 sum := sum(-1, 9, 15)

matrix of u row1 sum = 23

matrix of v:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[5, 1, -1]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

matrix of v row0 column0 term := mul(9, 5)

matrix of v row0 column0 term = 45

matrix of v row0 column1 term := mul(-3, 1)

matrix of v row0 column1 term = -3

matrix of v row0 column2 term := mul(3, -1)

matrix of v row0 column2 term = -3

matrix of v row0 sum := sum(45, -3, -3)

matrix of v row0 sum = 39

matrix of v row1 column0 term := mul(-1, 5)

matrix of v row1 column0 term = -5

matrix of v row1 column1 term := mul(-9, 1)

matrix of v row1 column1 term = -9

matrix of v row1 column2 term := mul(-5, -1)

matrix of v row1 column2 term = 5

matrix of v row1 sum := sum(-5, -9, 5)

matrix of v row1 sum = -9

affine lhs coordinate0 := sum(42, 2)

affine lhs coordinate0 = 44

T u coordinate0 := sum(3, 2)

T u coordinate0 = 5

T v coordinate0 := sum(39, 2)

T v coordinate0 = 41

affine rhs coordinate0 := sum(5, 41)

affine rhs coordinate0 = 46

additivity signed residual0 := sub(44, 46)

additivity signed residual0 = -2

affine lhs coordinate1 := sum(14, -3)

affine lhs coordinate1 = 11

T u coordinate1 := sum(23, -3)

T u coordinate1 = 20

T v coordinate1 := sum(-9, -3)

T v coordinate1 = -12

affine rhs coordinate1 := sum(20, -12)

affine rhs coordinate1 = 8

additivity signed residual1 := sub(11, 8)

additivity signed residual1 = 3

bias=[2, -3];T(u+v)=[44, 11];T(u)+T(v)=[46, 8]

lhs-rhs=[-2, 3]=-bias;this instance additive=否

逐步反向核對

• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 additivity signed residual1，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine rhs coordinate1，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T v coordinate1，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T u coordinate1，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine lhs coordinate1，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 additivity signed residual0，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine rhs coordinate0，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T v coordinate0，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T u coordinate0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine lhs coordinate0，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 sum，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 sum，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 sum，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 second scaled，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 first scaled，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。

結論

([1, -1, -3], [5, 1, -1], [2, -3], [44, 11], [46, 8], [-2, 3], 否)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。