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第 13051 題：實線性映射

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 66

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R0025-13051 · q-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-0076

原題與已知條件

來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-combination-image；資料={"matrix":[[-12,-3,-5],[-2,12,-6]],"u":[1,-2,-3],"v":[-5,1,-2],"alpha":-2,"beta":-3}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal,certificate] 欄序回答。

  • G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-combination-image；資料={"matrix":[[-12,-3,-5],[-2,12,-6]],"u":[1,-2,-3],"v":[-5,1,-2],"alpha":-2,"beta":-3}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · calculation

操作前

input combination coordinate0 first scaled := mul(-2, 1)

操作後

input combination coordinate0 first scaled = -2

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

input combination coordinate0 second scaled := mul(-3, -5)

操作後

input combination coordinate0 second scaled = 15

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

input combination coordinate0 sum := sum(-2, 15)

操作後

input combination coordinate0 sum = 13

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

input combination coordinate1 first scaled := mul(-2, -2)

操作後

input combination coordinate1 first scaled = 4

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

input combination coordinate1 second scaled := mul(-3, 1)

操作後

input combination coordinate1 second scaled = -3

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

input combination coordinate1 sum := sum(4, -3)

操作後

input combination coordinate1 sum = 1

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

input combination coordinate2 first scaled := mul(-2, -3)

操作後

input combination coordinate2 first scaled = 6

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

input combination coordinate2 second scaled := mul(-3, -2)

操作後

input combination coordinate2 second scaled = 6

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

input combination coordinate2 sum := sum(6, 6)

操作後

input combination coordinate2 sum = 12

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

combined image:matrix=[[-12, -3, -5], [-2, 12, -6]];input=[13, 1, 12]

操作後

R^3->R^2;each output is its original row dot input

條件：無

輸入維度等於欄數，輸出維度等於列數，矩陣可長方形；不交換行列或補不存在的座標。

步驟識別與依賴

規則：rectangular_linear_map_source_target_roles · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

combined image row0 column0 term := mul(-12, 13)

操作後

combined image row0 column0 term = -156

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

combined image row0 column1 term := mul(-3, 1)

操作後

combined image row0 column1 term = -3

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

combined image row0 column2 term := mul(-5, 12)

操作後

combined image row0 column2 term = -60

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

combined image row0 sum := sum(-156, -3, -60)

操作後

combined image row0 sum = -219

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

combined image row1 column0 term := mul(-2, 13)

操作後

combined image row1 column0 term = -26

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

combined image row1 column1 term := mul(12, 1)

操作後

combined image row1 column1 term = 12

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

combined image row1 column2 term := mul(-6, 12)

操作後

combined image row1 column2 term = -72

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

combined image row1 sum := sum(-26, 12, -72)

操作後

combined image row1 sum = -86

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

u image:matrix=[[-12, -3, -5], [-2, 12, -6]];input=[1, -2, -3]

操作後

R^3->R^2;each output is its original row dot input

條件：無

輸入維度等於欄數，輸出維度等於列數，矩陣可長方形；不交換行列或補不存在的座標。

步驟識別與依賴

規則：rectangular_linear_map_source_target_roles · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

u image row0 column0 term := mul(-12, 1)

操作後

u image row0 column0 term = -12

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

u image row0 column1 term := mul(-3, -2)

操作後

u image row0 column1 term = 6

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

u image row0 column2 term := mul(-5, -3)

操作後

u image row0 column2 term = 15

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

u image row0 sum := sum(-12, 6, 15)

操作後

u image row0 sum = 9

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

u image row1 column0 term := mul(-2, 1)

操作後

u image row1 column0 term = -2

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

u image row1 column1 term := mul(12, -2)

操作後

u image row1 column1 term = -24

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · calculation

操作前

u image row1 column2 term := mul(-6, -3)

操作後

u image row1 column2 term = 18

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

u image row1 sum := sum(-2, -24, 18)

操作後

u image row1 sum = -8

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

v image:matrix=[[-12, -3, -5], [-2, 12, -6]];input=[-5, 1, -2]

操作後

R^3->R^2;each output is its original row dot input

條件：無

輸入維度等於欄數，輸出維度等於列數，矩陣可長方形；不交換行列或補不存在的座標。

步驟識別與依賴

規則：rectangular_linear_map_source_target_roles · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

v image row0 column0 term := mul(-12, -5)

操作後

v image row0 column0 term = 60

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · calculation

操作前

v image row0 column1 term := mul(-3, 1)

操作後

v image row0 column1 term = -3

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

v image row0 column2 term := mul(-5, -2)

操作後

v image row0 column2 term = 10

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

v image row0 sum := sum(60, -3, 10)

操作後

v image row0 sum = 67

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

v image row1 column0 term := mul(-2, -5)

操作後

v image row1 column0 term = 10

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · calculation

操作前

v image row1 column1 term := mul(12, 1)

操作後

v image row1 column1 term = 12

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

v image row1 column2 term := mul(-6, -2)

操作後

v image row1 column2 term = 12

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · calculation

操作前

v image row1 sum := sum(10, 12, 12)

操作後

v image row1 sum = 34

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035

S037 · calculation

操作前

output combination coordinate0 first scaled := mul(-2, 9)

操作後

output combination coordinate0 first scaled = -18

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036

S038 · calculation

操作前

output combination coordinate0 second scaled := mul(-3, 67)

操作後

output combination coordinate0 second scaled = -201

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037

S039 · calculation

操作前

output combination coordinate0 sum := sum(-18, -201)

操作後

output combination coordinate0 sum = -219

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038

S040 · calculation

操作前

output combination coordinate1 first scaled := mul(-2, -8)

操作後

output combination coordinate1 first scaled = 16

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039

S041 · calculation

操作前

output combination coordinate1 second scaled := mul(-3, 34)

操作後

output combination coordinate1 second scaled = -102

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

output combination coordinate1 sum := sum(16, -102)

操作後

output combination coordinate1 sum = -86

條件：無

依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

matrix formula;alpha=-2;beta=-3;lhs=[-219, -86];rhs=[-219, -86]

操作後

all row dot products distribute over all real linear combinations;instance equality=是

條件：無

每個輸出座標的有限和可分配任意實純量，逐列同時成立即是全稱線性證書；本題再用完整座標重組回核實例。

步驟識別與依賴

規則：matrix_combination_universal_coordinate_certificate · 依賴：G001, S042

逐步反向核對

  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。
  • S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
  • S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
  • S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。
  • S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
  • S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。
  • S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 sum，不以小數近似替代。
  • S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column2 term，不以小數近似替代。
  • S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column1 term，不以小數近似替代。
  • S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column0 term，不以小數近似替代。
  • S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 sum，不以小數近似替代。
  • S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column2 term，不以小數近似替代。
  • S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column1 term，不以小數近似替代。
  • S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column0 term，不以小數近似替代。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 sum，不以小數近似替代。
  • S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column2 term，不以小數近似替代。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column1 term，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column0 term，不以小數近似替代。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 sum，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column2 term，不以小數近似替代。
  • S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column1 term，不以小數近似替代。
  • S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column0 term，不以小數近似替代。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 sum，不以小數近似替代。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column2 term，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column1 term，不以小數近似替代。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column0 term，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 sum，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column2 term，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column1 term，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column0 term，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 sum，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 second scaled，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 first scaled，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。

結論

(-2, -3, [13, 1, 12], [-219, -86], [-219, -86], 是, matrix_formula_universal_certificate)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 72e137addba4f9cf588e69c34697cfdc16a6b0a0b89e2689e963f12d63c80b61
  • candidate record SHA-256: e505210694f72f7d0887536e2441480cc9908784f4321d8bf7a118eeaafe9e14
  • semantic review receipt SHA-256: 0e51c2bf621e6e998415fdd75d260464e625cecd5894a230c9f09553249551c5
  • question-first witness SHA-256: ceb79401a62782c9f7e5ed86afee9b1a71455f799bd24cf485cba7aa8ecaca8a
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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