第 13061 題：實線性映射

原題與已知條件

來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-combination-image；資料={"matrix":[[-2,0,3],[-2,2,5]],"u":[1,-2,0],"v":[5,1,0],"alpha":-2,"beta":0}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal,certificate] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-combination-image；資料={"matrix":[[-2,0,3],[-2,2,5]],"u":[1,-2,0],"v":[5,1,0],"alpha":-2,"beta":0}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-general-linear-map

逐步推導

input combination coordinate0 first scaled := mul(-2, 1)

input combination coordinate0 first scaled = -2

input combination coordinate0 second scaled := mul(0, 5)

input combination coordinate0 second scaled = 0

input combination coordinate0 sum := sum(-2, 0)

input combination coordinate0 sum = -2

input combination coordinate1 first scaled := mul(-2, -2)

input combination coordinate1 first scaled = 4

input combination coordinate1 second scaled := mul(0, 1)

input combination coordinate1 second scaled = 0

input combination coordinate1 sum := sum(4, 0)

input combination coordinate1 sum = 4

input combination coordinate2 first scaled := mul(-2, 0)

input combination coordinate2 first scaled = 0

input combination coordinate2 second scaled := mul(0, 0)

input combination coordinate2 second scaled = 0

input combination coordinate2 sum := sum(0, 0)

input combination coordinate2 sum = 0

combined image:matrix=[[-2, 0, 3], [-2, 2, 5]];input=[-2, 4, 0]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

combined image row0 column0 term := mul(-2, -2)

combined image row0 column0 term = 4

combined image row0 column1 term := mul(0, 4)

combined image row0 column1 term = 0

combined image row0 column2 term := mul(3, 0)

combined image row0 column2 term = 0

combined image row0 sum := sum(4, 0, 0)

combined image row0 sum = 4

combined image row1 column0 term := mul(-2, -2)

combined image row1 column0 term = 4

combined image row1 column1 term := mul(2, 4)

combined image row1 column1 term = 8

combined image row1 column2 term := mul(5, 0)

combined image row1 column2 term = 0

combined image row1 sum := sum(4, 8, 0)

combined image row1 sum = 12

u image:matrix=[[-2, 0, 3], [-2, 2, 5]];input=[1, -2, 0]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

u image row0 column0 term := mul(-2, 1)

u image row0 column0 term = -2

u image row0 column1 term := mul(0, -2)

u image row0 column1 term = 0

u image row0 column2 term := mul(3, 0)

u image row0 column2 term = 0

u image row0 sum := sum(-2, 0, 0)

u image row0 sum = -2

u image row1 column0 term := mul(-2, 1)

u image row1 column0 term = -2

u image row1 column1 term := mul(2, -2)

u image row1 column1 term = -4

u image row1 column2 term := mul(5, 0)

u image row1 column2 term = 0

u image row1 sum := sum(-2, -4, 0)

u image row1 sum = -6

v image:matrix=[[-2, 0, 3], [-2, 2, 5]];input=[5, 1, 0]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

v image row0 column0 term := mul(-2, 5)

v image row0 column0 term = -10

v image row0 column1 term := mul(0, 1)

v image row0 column1 term = 0

v image row0 column2 term := mul(3, 0)

v image row0 column2 term = 0

v image row0 sum := sum(-10, 0, 0)

v image row0 sum = -10

v image row1 column0 term := mul(-2, 5)

v image row1 column0 term = -10

v image row1 column1 term := mul(2, 1)

v image row1 column1 term = 2

v image row1 column2 term := mul(5, 0)

v image row1 column2 term = 0

v image row1 sum := sum(-10, 2, 0)

v image row1 sum = -8

output combination coordinate0 first scaled := mul(-2, -2)

output combination coordinate0 first scaled = 4

output combination coordinate0 second scaled := mul(0, -10)

output combination coordinate0 second scaled = 0

output combination coordinate0 sum := sum(4, 0)

output combination coordinate0 sum = 4

output combination coordinate1 first scaled := mul(-2, -6)

output combination coordinate1 first scaled = 12

output combination coordinate1 second scaled := mul(0, -8)

output combination coordinate1 second scaled = 0

output combination coordinate1 sum := sum(12, 0)

output combination coordinate1 sum = 12

matrix formula;alpha=-2;beta=0;lhs=[4, 12];rhs=[4, 12]

all row dot products distribute over all real linear combinations;instance equality=是

逐步反向核對

• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 sum，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 sum，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 sum，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 second scaled，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 first scaled，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。

結論

(-2, 0, [-2, 4, 0], [4, 12], [4, 12], 是, matrix_formula_universal_certificate)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。