第 13069 題：實線性映射

原題與已知條件

來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-combination-image；資料={"matrix":[[6,1,5],[1,-6,6]],"u":[1,1,1],"v":[2,1,0],"alpha":1,"beta":1}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal,certificate] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-combination-image；資料={"matrix":[[6,1,5],[1,-6,6]],"u":[1,1,1],"v":[2,1,0],"alpha":1,"beta":1}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-general-linear-map

逐步推導

input combination coordinate0 first scaled := mul(1, 1)

input combination coordinate0 first scaled = 1

input combination coordinate0 second scaled := mul(1, 2)

input combination coordinate0 second scaled = 2

input combination coordinate0 sum := sum(1, 2)

input combination coordinate0 sum = 3

input combination coordinate1 first scaled := mul(1, 1)

input combination coordinate1 first scaled = 1

input combination coordinate1 second scaled := mul(1, 1)

input combination coordinate1 second scaled = 1

input combination coordinate1 sum := sum(1, 1)

input combination coordinate1 sum = 2

input combination coordinate2 first scaled := mul(1, 1)

input combination coordinate2 first scaled = 1

input combination coordinate2 second scaled := mul(1, 0)

input combination coordinate2 second scaled = 0

input combination coordinate2 sum := sum(1, 0)

input combination coordinate2 sum = 1

combined image:matrix=[[6, 1, 5], [1, -6, 6]];input=[3, 2, 1]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

combined image row0 column0 term := mul(6, 3)

combined image row0 column0 term = 18

combined image row0 column1 term := mul(1, 2)

combined image row0 column1 term = 2

combined image row0 column2 term := mul(5, 1)

combined image row0 column2 term = 5

combined image row0 sum := sum(18, 2, 5)

combined image row0 sum = 25

combined image row1 column0 term := mul(1, 3)

combined image row1 column0 term = 3

combined image row1 column1 term := mul(-6, 2)

combined image row1 column1 term = -12

combined image row1 column2 term := mul(6, 1)

combined image row1 column2 term = 6

combined image row1 sum := sum(3, -12, 6)

combined image row1 sum = -3

u image:matrix=[[6, 1, 5], [1, -6, 6]];input=[1, 1, 1]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

u image row0 column0 term := mul(6, 1)

u image row0 column0 term = 6

u image row0 column1 term := mul(1, 1)

u image row0 column1 term = 1

u image row0 column2 term := mul(5, 1)

u image row0 column2 term = 5

u image row0 sum := sum(6, 1, 5)

u image row0 sum = 12

u image row1 column0 term := mul(1, 1)

u image row1 column0 term = 1

u image row1 column1 term := mul(-6, 1)

u image row1 column1 term = -6

u image row1 column2 term := mul(6, 1)

u image row1 column2 term = 6

u image row1 sum := sum(1, -6, 6)

u image row1 sum = 1

v image:matrix=[[6, 1, 5], [1, -6, 6]];input=[2, 1, 0]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

v image row0 column0 term := mul(6, 2)

v image row0 column0 term = 12

v image row0 column1 term := mul(1, 1)

v image row0 column1 term = 1

v image row0 column2 term := mul(5, 0)

v image row0 column2 term = 0

v image row0 sum := sum(12, 1, 0)

v image row0 sum = 13

v image row1 column0 term := mul(1, 2)

v image row1 column0 term = 2

v image row1 column1 term := mul(-6, 1)

v image row1 column1 term = -6

v image row1 column2 term := mul(6, 0)

v image row1 column2 term = 0

v image row1 sum := sum(2, -6, 0)

v image row1 sum = -4

output combination coordinate0 first scaled := mul(1, 12)

output combination coordinate0 first scaled = 12

output combination coordinate0 second scaled := mul(1, 13)

output combination coordinate0 second scaled = 13

output combination coordinate0 sum := sum(12, 13)

output combination coordinate0 sum = 25

output combination coordinate1 first scaled := mul(1, 1)

output combination coordinate1 first scaled = 1

output combination coordinate1 second scaled := mul(1, -4)

output combination coordinate1 second scaled = -4

output combination coordinate1 sum := sum(1, -4)

output combination coordinate1 sum = -3

matrix formula;alpha=1;beta=1;lhs=[25, -3];rhs=[25, -3]

all row dot products distribute over all real linear combinations;instance equality=是

逐步反向核對

• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 sum，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 sum，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 sum，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 second scaled，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 first scaled，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。

結論

(1, 1, [3, 2, 1], [25, -3], [25, -3], 是, matrix_formula_universal_certificate)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。