第 13072 題：實線性映射

原題與已知條件

來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-combination-image；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]],"u":[1,-1,-3],"v":[5,1,-1],"alpha":-1,"beta":-3}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal,certificate] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-combination-image；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]],"u":[1,-1,-3],"v":[5,1,-1],"alpha":-1,"beta":-3}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-general-linear-map

逐步推導

input combination coordinate0 first scaled := mul(-1, 1)

input combination coordinate0 first scaled = -1

input combination coordinate0 second scaled := mul(-3, 5)

input combination coordinate0 second scaled = -15

input combination coordinate0 sum := sum(-1, -15)

input combination coordinate0 sum = -16

input combination coordinate1 first scaled := mul(-1, -1)

input combination coordinate1 first scaled = 1

input combination coordinate1 second scaled := mul(-3, 1)

input combination coordinate1 second scaled = -3

input combination coordinate1 sum := sum(1, -3)

input combination coordinate1 sum = -2

input combination coordinate2 first scaled := mul(-1, -3)

input combination coordinate2 first scaled = 3

input combination coordinate2 second scaled := mul(-3, -1)

input combination coordinate2 second scaled = 3

input combination coordinate2 sum := sum(3, 3)

input combination coordinate2 sum = 6

combined image:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[-16, -2, 6]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

combined image row0 column0 term := mul(9, -16)

combined image row0 column0 term = -144

combined image row0 column1 term := mul(-3, -2)

combined image row0 column1 term = 6

combined image row0 column2 term := mul(3, 6)

combined image row0 column2 term = 18

combined image row0 sum := sum(-144, 6, 18)

combined image row0 sum = -120

combined image row1 column0 term := mul(-1, -16)

combined image row1 column0 term = 16

combined image row1 column1 term := mul(-9, -2)

combined image row1 column1 term = 18

combined image row1 column2 term := mul(-5, 6)

combined image row1 column2 term = -30

combined image row1 sum := sum(16, 18, -30)

combined image row1 sum = 4

u image:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[1, -1, -3]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

u image row0 column0 term := mul(9, 1)

u image row0 column0 term = 9

u image row0 column1 term := mul(-3, -1)

u image row0 column1 term = 3

u image row0 column2 term := mul(3, -3)

u image row0 column2 term = -9

u image row0 sum := sum(9, 3, -9)

u image row0 sum = 3

u image row1 column0 term := mul(-1, 1)

u image row1 column0 term = -1

u image row1 column1 term := mul(-9, -1)

u image row1 column1 term = 9

u image row1 column2 term := mul(-5, -3)

u image row1 column2 term = 15

u image row1 sum := sum(-1, 9, 15)

u image row1 sum = 23

v image:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[5, 1, -1]

R^3->R^2;each output is its original row dot input

v image row0 column0 term := mul(9, 5)

v image row0 column0 term = 45

v image row0 column1 term := mul(-3, 1)

v image row0 column1 term = -3

v image row0 column2 term := mul(3, -1)

v image row0 column2 term = -3

v image row0 sum := sum(45, -3, -3)

v image row0 sum = 39

v image row1 column0 term := mul(-1, 5)

v image row1 column0 term = -5

v image row1 column1 term := mul(-9, 1)

v image row1 column1 term = -9

v image row1 column2 term := mul(-5, -1)

v image row1 column2 term = 5

v image row1 sum := sum(-5, -9, 5)

v image row1 sum = -9

output combination coordinate0 first scaled := mul(-1, 3)

output combination coordinate0 first scaled = -3

output combination coordinate0 second scaled := mul(-3, 39)

output combination coordinate0 second scaled = -117

output combination coordinate0 sum := sum(-3, -117)

output combination coordinate0 sum = -120

output combination coordinate1 first scaled := mul(-1, 23)

output combination coordinate1 first scaled = -23

output combination coordinate1 second scaled := mul(-3, -9)

output combination coordinate1 second scaled = 27

output combination coordinate1 sum := sum(-23, 27)

output combination coordinate1 sum = 4

matrix formula;alpha=-1;beta=-3;lhs=[-120, 4];rhs=[-120, 4]

all row dot products distribute over all real linear combinations;instance equality=是

逐步反向核對

• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 output combination coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 sum，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 sum，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 sum，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 sum，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column2 term，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column1 term，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row1 column0 term，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 sum，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column2 term，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column1 term，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined image row0 column0 term，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 second scaled，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate2 first scaled，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 input combination coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。

結論

(-1, -3, [-16, -2, 6], [-120, 4], [-120, 4], 是, matrix_formula_universal_certificate)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。