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第 13573 題：有限交換環

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0026-13573 · q-20261014-advance-20261028-r01-finite-commutative-ring-0048

原題與已知條件

同一完整有限含一環的加法表與乘法表。操作=commring-product-swap；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,7,5,0,4,6],[2,3,7,6,0,1,5,4],[3,7,6,4,1,2,0,5],[4,5,0,1,7,6,3,2],[5,0,1,2,6,4,7,3],[6,4,5,0,3,7,2,1],[7,6,4,5,2,3,1,0]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,7,4,7,4,2,0],[0,3,4,1,2,6,5,7],[0,4,7,2,7,2,4,0],[0,5,4,6,2,1,3,7],[0,6,2,5,4,3,1,7],[0,7,0,7,0,7,7,0]],"a":5,"b":7}。請依 [a,b,ab,ba,equal] 欄序回答。

  • G001 — 同一完整有限含一環的加法表與乘法表。操作=commring-product-swap；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,7,5,0,4,6],[2,3,7,6,0,1,5,4],[3,7,6,4,1,2,0,5],[4,5,0,1,7,6,3,2],[5,0,1,2,6,4,7,3],[6,4,5,0,3,7,2,1],[7,6,4,5,2,3,1,0]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,7,4,7,4,2,0],[0,3,4,1,2,6,5,7],[0,4,7,2,7,2,4,0],[0,5,4,6,2,1,3,7],[0,6,2,5,4,3,1,7],[0,7,0,7,0,7,7,0]],"a":5,"b":7}。請依 [a,b,ab,ba,equal] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

same parent carrier Fin(8);addition=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 7, 5, 0, 4, 6], [2, 3, 7, 6, 0, 1, 5, 4], [3, 7, 6, 4, 1, 2, 0, 5], [4, 5, 0, 1, 7, 6, 3, 2], [5, 0, 1, 2, 6, 4, 7, 3], [6, 4, 5, 0, 3, 7, 2, 1], [7, 6, 4, 5, 2, 3, 1, 0]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 2, 7, 4, 7, 4, 2, 0], [0, 3, 4, 1, 2, 6, 5, 7], [0, 4, 7, 2, 7, 2, 4, 0], [0, 5, 4, 6, 2, 1, 3, 7], [0, 6, 2, 5, 4, 3, 1, 7], [0, 7, 0, 7, 0, 7, 7, 0]]

操作後

both complete operation tables typed and closed

條件：無

以下理想或交換律綁定同一父環；此處保留完整原表，不把元素標籤當成整數值。

步驟識別與依賴

規則：parent_ring_original_complete_tables · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

every additive triple checked;first associativity failure=null;all additive pairs commute=是

操作後

additive zero candidates=[0];actual zero=0;two-sided additive inverses in label order=[0, 5, 4, 6, 2, 1, 3, 7]

條件：無

逐完整載體核加法結合、交換、兩側零與每個逆元；父環是題目使用的已合格前提，核查完整有限條件，不靠幾個樣本。

步驟識別與依賴

規則：parent_additive_abelian_group_complete_audit · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

every multiplicative triple checked;first associativity failure=null

操作後

multiplicative identity candidates=[1];actual one=1

條件：無

乘法只先要求結合與兩側one，不在此假設交換或非零元素可逆。

步驟識別與依賴

規則：parent_multiplicative_monoid_complete_audit · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

all 512 left and 512 right distributivity triples checked

操作後

first left failure=null;first right failure=null;zero=0;one=1;distinct=是

條件：無

左右分配責任分開完整核對，0與1必是不同實際元素；不因含一就宣稱交換環、整環或域。

步驟識別與依賴

規則：parent_both_distributivities_and_distinct_identities · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 1];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 2];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 3];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 4];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 5];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 6];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 7];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 2];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 3];a*b=3;b*a=3

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 4];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 5];a*b=5;b*a=5

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 6];a*b=6;b*a=6

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 7];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 3];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 4];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 5];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 6];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 7];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

unordered parent elements=[3, 4];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

unordered parent elements=[3, 5];a*b=6;b*a=6

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

unordered parent elements=[3, 6];a*b=5;b*a=5

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

unordered parent elements=[3, 7];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

unordered parent elements=[4, 5];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

unordered parent elements=[4, 6];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

unordered parent elements=[4, 7];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

unordered parent elements=[5, 6];a*b=3;b*a=3

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

unordered parent elements=[5, 7];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

unordered parent elements=[6, 7];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

all multiplicative noncommuting records=[]

操作後

parent ring commutative=是;zero divisors not excluded

條件：無

這一步只加乘法交換資格，不排除零因子，也不保證非零元素乘法可逆。

步驟識別與依賴

規則：commutative_ring_extra_obligation_not_field · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

a times b:operation=multiplication;left label=5;right label=7;table row=[0, 5, 4, 6, 2, 1, 3, 7]

操作後

result label=7

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

b times a:operation=multiplication;left label=7;right label=5;table row=[0, 7, 0, 7, 0, 7, 7, 0]

操作後

result label=7

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S034

逐步反向核對

  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 7, 7, 7, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: c36b6b152365604a4b7e137c081bc80e7dea32ed81ad0b6dc2110c302e482e00
  • candidate record SHA-256: 4cc4ddfcfb7f42820991643a781696c9b994b628b785c0c927420b91522ce770
  • semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798
  • question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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