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第 13527 題：有限交換環

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0026-13527 · q-20261014-advance-20261028-r01-finite-commutative-ring-0052

原題與已知條件

同一完整有限含一環的加法表與乘法表。操作=commring-power-product；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,7,0,6],[2,3,4,5,7,6,1,0],[3,4,5,7,6,0,2,1],[4,5,7,6,0,1,3,2],[5,7,6,0,1,2,4,3],[6,0,1,2,3,4,7,5],[7,6,0,1,2,3,5,4]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,4,7,0,2,7,4],[0,3,7,1,4,6,5,2],[0,4,0,4,0,4,4,0],[0,5,2,6,4,1,3,7],[0,6,7,5,4,3,1,2],[0,7,4,2,0,7,2,4]],"a":2,"b":5,"exponent":2}。請依 [a,b,exponent,ab,lhs,rhs,equal] 欄序回答。

  • G001 — 同一完整有限含一環的加法表與乘法表。操作=commring-power-product；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,7,0,6],[2,3,4,5,7,6,1,0],[3,4,5,7,6,0,2,1],[4,5,7,6,0,1,3,2],[5,7,6,0,1,2,4,3],[6,0,1,2,3,4,7,5],[7,6,0,1,2,3,5,4]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,4,7,0,2,7,4],[0,3,7,1,4,6,5,2],[0,4,0,4,0,4,4,0],[0,5,2,6,4,1,3,7],[0,6,7,5,4,3,1,2],[0,7,4,2,0,7,2,4]],"a":2,"b":5,"exponent":2}。請依 [a,b,exponent,ab,lhs,rhs,equal] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

same parent carrier Fin(8);addition=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 4, 5, 7, 0, 6], [2, 3, 4, 5, 7, 6, 1, 0], [3, 4, 5, 7, 6, 0, 2, 1], [4, 5, 7, 6, 0, 1, 3, 2], [5, 7, 6, 0, 1, 2, 4, 3], [6, 0, 1, 2, 3, 4, 7, 5], [7, 6, 0, 1, 2, 3, 5, 4]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 2, 4, 7, 0, 2, 7, 4], [0, 3, 7, 1, 4, 6, 5, 2], [0, 4, 0, 4, 0, 4, 4, 0], [0, 5, 2, 6, 4, 1, 3, 7], [0, 6, 7, 5, 4, 3, 1, 2], [0, 7, 4, 2, 0, 7, 2, 4]]

操作後

both complete operation tables typed and closed

條件：無

以下理想或交換律綁定同一父環；此處保留完整原表，不把元素標籤當成整數值。

步驟識別與依賴

規則：parent_ring_original_complete_tables · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

every additive triple checked;first associativity failure=null;all additive pairs commute=是

操作後

additive zero candidates=[0];actual zero=0;two-sided additive inverses in label order=[0, 6, 7, 5, 4, 3, 1, 2]

條件：無

逐完整載體核加法結合、交換、兩側零與每個逆元；父環是題目使用的已合格前提，核查完整有限條件，不靠幾個樣本。

步驟識別與依賴

規則：parent_additive_abelian_group_complete_audit · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

every multiplicative triple checked;first associativity failure=null

操作後

multiplicative identity candidates=[1];actual one=1

條件：無

乘法只先要求結合與兩側one，不在此假設交換或非零元素可逆。

步驟識別與依賴

規則：parent_multiplicative_monoid_complete_audit · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

all 512 left and 512 right distributivity triples checked

操作後

first left failure=null;first right failure=null;zero=0;one=1;distinct=是

條件：無

左右分配責任分開完整核對，0與1必是不同實際元素；不因含一就宣稱交換環、整環或域。

步驟識別與依賴

規則：parent_both_distributivities_and_distinct_identities · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 1];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 2];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 3];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 4];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 5];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 6];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

unordered parent elements=[0, 7];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 2];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 3];a*b=3;b*a=3

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 4];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 5];a*b=5;b*a=5

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 6];a*b=6;b*a=6

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

unordered parent elements=[1, 7];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 3];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 4];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 5];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 6];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

unordered parent elements=[2, 7];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

unordered parent elements=[3, 4];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

unordered parent elements=[3, 5];a*b=6;b*a=6

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

unordered parent elements=[3, 6];a*b=5;b*a=5

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

unordered parent elements=[3, 7];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

unordered parent elements=[4, 5];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

unordered parent elements=[4, 6];a*b=4;b*a=4

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

unordered parent elements=[4, 7];a*b=0;b*a=0

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

unordered parent elements=[5, 6];a*b=3;b*a=3

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

unordered parent elements=[5, 7];a*b=7;b*a=7

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

unordered parent elements=[6, 7];a*b=2;b*a=2

操作後

commute=是

條件：無

完整列出所有不同元素對的兩個乘積，對角自動相等；單一相等對不足以認證全環交換。

步驟識別與依賴

規則：whole_ring_multiplicative_commutativity_pair · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

all multiplicative noncommuting records=[]

操作後

parent ring commutative=是;zero divisors not excluded

條件：無

這一步只加乘法交換資格，不排除零因子，也不保證非零元素乘法可逆。

步驟識別與依賴

規則：commutative_ring_extra_obligation_not_field · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

a times b:operation=multiplication;left label=2;right label=5;table row=[0, 2, 4, 7, 0, 2, 7, 4]

操作後

result label=2

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

product power:base label=2;nonnegative exponent=2;actual one=1

操作後

initial power0=1

條件：無

每個非負冪由實際one起算，包含指數0，不假設one的標籤是1。

步驟識別與依賴

規則：unital_ring_power_zero_boundary · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

product power step1:operation=multiplication;left label=1;right label=2;table row=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

操作後

result label=2

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

product power step2:operation=multiplication;left label=2;right label=2;table row=[0, 2, 4, 7, 0, 2, 7, 4]

操作後

result label=4

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

a power:base label=2;nonnegative exponent=2;actual one=1

操作後

initial power0=1

條件：無

每個非負冪由實際one起算，包含指數0，不假設one的標籤是1。

步驟識別與依賴

規則：unital_ring_power_zero_boundary · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

a power step1:operation=multiplication;left label=1;right label=2;table row=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

操作後

result label=2

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

a power step2:operation=multiplication;left label=2;right label=2;table row=[0, 2, 4, 7, 0, 2, 7, 4]

操作後

result label=4

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

b power:base label=5;nonnegative exponent=2;actual one=1

操作後

initial power0=1

條件：無

每個非負冪由實際one起算，包含指數0，不假設one的標籤是1。

步驟識別與依賴

規則：unital_ring_power_zero_boundary · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

b power step1:operation=multiplication;left label=1;right label=5;table row=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

操作後

result label=5

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

b power step2:operation=multiplication;left label=5;right label=5;table row=[0, 5, 2, 6, 4, 1, 3, 7]

操作後

result label=1

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

product of powers:operation=multiplication;left label=4;right label=1;table row=[0, 4, 0, 4, 0, 4, 4, 0]

操作後

result label=4

條件：無

按原操作表與指定次序查值，結果仍是載體標籤，不用標籤的整數加乘替代。

步驟識別與依賴

規則：parent_table_operation_lookup · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

whole parent multiplication commutes;exponent=2;lhs=4;rhs=4

操作後

(a*b)^k=a^k*b^k under associativity and commutativity,including k0

條件：無

結合律與全環交換律才允許把有限連乘中的a、b分組；k=0兩側都是one。本題相等不是拿來反證／證成交換律。

步驟識別與依賴

規則：commutative_power_product_rearrangement · 依賴：G001, S044

逐步反向核對

  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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結論

(2, 5, 2, 2, 4, 4, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 1a8cea20c750ff3dd3ddad3ba374c7f42959f3c81d36469c88a72649d2871580
  • candidate record SHA-256: 16f68c3b34ed70a8c579255d0ac24cba67e49c8e46a887d5ba00bbb459192d80
  • semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798
  • question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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