原題與已知條件
子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-qualification；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,5,6,7,0,4],[2,3,5,7,0,4,1,6],[3,5,7,4,1,6,2,0],[4,6,0,1,5,2,7,3],[5,7,4,6,2,0,3,1],[6,0,1,2,7,3,4,5],[7,4,6,0,3,1,5,2]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,5,4,5,0,4,2],[0,3,4,1,2,5,7,6],[0,4,5,2,5,0,2,4],[0,5,0,5,0,0,5,5],[0,6,4,7,2,5,1,3],[0,7,2,6,4,5,3,1]],"subset":[0,1,2,4,5]}。請依 [subset,zero,additive_subgroup,missing_left,missing_right,two_sided_ideal] 欄序回答。
G001 — 子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-qualification；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,5,6,7,0,4],[2,3,5,7,0,4,1,6],[3,5,7,4,1,6,2,0],[4,6,0,1,5,2,7,3],[5,7,4,6,2,0,3,1],[6,0,1,2,7,3,4,5],[7,4,6,0,3,1,5,2]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,5,4,5,0,4,2],[0,3,4,1,2,5,7,6],[0,4,5,2,5,0,2,4],[0,5,0,5,0,0,5,5],[0,6,4,7,2,5,1,3],[0,7,2,6,4,5,3,1]],"subset":[0,1,2,4,5]}。請依 [subset,zero,additive_subgroup,missing_left,missing_right,two_sided_ideal] 欄序回答。
逐步推導
S001 · implies
操作前
same parent carrier Fin(8);addition=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 5, 6, 7, 0, 4], [2, 3, 5, 7, 0, 4, 1, 6], [3, 5, 7, 4, 1, 6, 2, 0], [4, 6, 0, 1, 5, 2, 7, 3], [5, 7, 4, 6, 2, 0, 3, 1], [6, 0, 1, 2, 7, 3, 4, 5], [7, 4, 6, 0, 3, 1, 5, 2]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 2, 5, 4, 5, 0, 4, 2], [0, 3, 4, 1, 2, 5, 7, 6], [0, 4, 5, 2, 5, 0, 2, 4], [0, 5, 0, 5, 0, 0, 5, 5], [0, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 3], [0, 7, 2, 6, 4, 5, 3, 1]]
操作後
both complete operation tables typed and closed
條件：無
以下理想或交換律綁定同一父環；此處保留完整原表，不把元素標籤當成整數值。
步驟識別與依賴
規則：parent_ring_original_complete_tables · 依賴：G001
S002 · implies
操作前
every additive triple checked;first associativity failure=null;all additive pairs commute=是
操作後
additive zero candidates=[0];actual zero=0;two-sided additive inverses in label order=[0, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 3]
條件：無
逐完整載體核加法結合、交換、兩側零與每個逆元；父環是題目使用的已合格前提，核查完整有限條件，不靠幾個樣本。
步驟識別與依賴
規則：parent_additive_abelian_group_complete_audit · 依賴：G001, S001
S003 · implies
操作前
every multiplicative triple checked;first associativity failure=null
操作後
multiplicative identity candidates=[1];actual one=1
條件：無
乘法只先要求結合與兩側one，不在此假設交換或非零元素可逆。
步驟識別與依賴
規則：parent_multiplicative_monoid_complete_audit · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
all 512 left and 512 right distributivity triples checked
操作後
first left failure=null;first right failure=null;zero=0;one=1;distinct=是
條件：無
左右分配責任分開完整核對，0與1必是不同實際元素；不因含一就宣稱交換環、整環或域。
步驟識別與依賴
規則：parent_both_distributivities_and_distinct_identities · 依賴：G001, S003
S005 · implies
操作前
raw subset=[0, 1, 2, 4, 5];same qualified parent zero=0
操作後
sorted distinct parent labels=[0, 1, 2, 4, 5]
條件：無
此子集按集合去重排序，但所有運算與逆元都來自同一父環，不另換加乘或把標籤當整數。
步驟識別與依賴
規則：ideal_subset_same_parent_normalization · 依賴：G001, S004
S006 · implies
操作前
subset element=0;parent additive inverse=0
操作後
inverse belongs to subset=是
條件：無
加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。
步驟識別與依賴
規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S005
S007 · implies
操作前
subset ordered pair=[0, 0];parent sum=0
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S006
S008 · implies
操作前
subset ordered pair=[0, 1];parent sum=1
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S007
S009 · implies
操作前
subset ordered pair=[0, 2];parent sum=2
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S008
S010 · implies
操作前
subset ordered pair=[0, 4];parent sum=4
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S009
S011 · implies
操作前
subset ordered pair=[0, 5];parent sum=5
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S010
S012 · implies
操作前
subset element=1;parent additive inverse=6
操作後
inverse belongs to subset=否
條件：無
加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。
步驟識別與依賴
規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S011
S013 · implies
操作前
subset ordered pair=[1, 0];parent sum=1
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S012
S014 · implies
操作前
subset ordered pair=[1, 1];parent sum=2
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S013
S015 · implies
操作前
subset ordered pair=[1, 2];parent sum=3
操作後
sum belongs to subset=否
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S014
S016 · implies
操作前
subset ordered pair=[1, 4];parent sum=6
操作後
sum belongs to subset=否
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S015
S017 · implies
操作前
subset ordered pair=[1, 5];parent sum=7
操作後
sum belongs to subset=否
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S016
S018 · implies
操作前
subset element=2;parent additive inverse=4
操作後
inverse belongs to subset=是
條件：無
加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。
步驟識別與依賴
規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S017
S019 · implies
操作前
subset ordered pair=[2, 0];parent sum=2
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S018
S020 · implies
操作前
subset ordered pair=[2, 1];parent sum=3
操作後
sum belongs to subset=否
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S019
S021 · implies
操作前
subset ordered pair=[2, 2];parent sum=5
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S020
S022 · implies
操作前
subset ordered pair=[2, 4];parent sum=0
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S021
S023 · implies
操作前
subset ordered pair=[2, 5];parent sum=4
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S022
S024 · implies
操作前
subset element=4;parent additive inverse=2
操作後
inverse belongs to subset=是
條件：無
加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。
步驟識別與依賴
規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S023
S025 · implies
操作前
subset ordered pair=[4, 0];parent sum=4
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S024
S026 · implies
操作前
subset ordered pair=[4, 1];parent sum=6
操作後
sum belongs to subset=否
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S025
S027 · implies
操作前
subset ordered pair=[4, 2];parent sum=0
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S026
S028 · implies
操作前
subset ordered pair=[4, 4];parent sum=5
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S027
S029 · implies
操作前
subset ordered pair=[4, 5];parent sum=2
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S028
S030 · implies
操作前
subset element=5;parent additive inverse=5
操作後
inverse belongs to subset=是
條件：無
加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。
步驟識別與依賴
規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S029
S031 · implies
操作前
subset ordered pair=[5, 0];parent sum=5
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S030
S032 · implies
操作前
subset ordered pair=[5, 1];parent sum=7
操作後
sum belongs to subset=否
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S031
S033 · implies
操作前
subset ordered pair=[5, 2];parent sum=4
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S032
S034 · implies
操作前
subset ordered pair=[5, 4];parent sum=2
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S033
S035 · implies
操作前
subset ordered pair=[5, 5];parent sum=0
操作後
sum belongs to subset=是
條件：無
逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。
步驟識別與依賴
規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S034
S036 · implies
操作前
subset nonempty=是;actual zero belongs=是;missing sums=[[1, 2, 3], [1, 4, 6], [1, 5, 7], [2, 1, 3], [4, 1, 6], [5, 1, 7]];missing inverses=[[1, 6]]
操作後
additive subgroup=否
條件：無
非空、含實際零、加法閉包與逆元閉包同時成立才合格；空集合不能因閉包空泛成立而成加法子群。
步驟識別與依賴
規則：ideal_additive_subgroup_nonempty_zero_and_closure · 依賴：G001, S035
S037 · implies
操作前
parent r=0;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S036
S038 · implies
操作前
parent r=0;subset x=1;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S037
S039 · implies
操作前
parent r=0;subset x=2;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S038
S040 · implies
操作前
parent r=0;subset x=4;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S039
S041 · implies
操作前
parent r=0;subset x=5;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S040
S042 · implies
操作前
parent r=1;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S041
S043 · implies
操作前
parent r=1;subset x=1;left product r*x=1;right product x*r=1
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S042
S044 · implies
操作前
parent r=1;subset x=2;left product r*x=2;right product x*r=2
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S043
S045 · implies
操作前
parent r=1;subset x=4;left product r*x=4;right product x*r=4
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S044
S046 · implies
操作前
parent r=1;subset x=5;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S045
S047 · implies
操作前
parent r=2;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S046
S048 · implies
操作前
parent r=2;subset x=1;left product r*x=2;right product x*r=2
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S047
S049 · implies
操作前
parent r=2;subset x=2;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S048
S050 · implies
操作前
parent r=2;subset x=4;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S049
S051 · implies
操作前
parent r=2;subset x=5;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S050
S052 · implies
操作前
parent r=3;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S051
S053 · implies
操作前
parent r=3;subset x=1;left product r*x=3;right product x*r=3
操作後
left absorbed=否;right absorbed=否
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S052
S054 · implies
操作前
parent r=3;subset x=2;left product r*x=4;right product x*r=4
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S053
S055 · implies
操作前
parent r=3;subset x=4;left product r*x=2;right product x*r=2
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S054
S056 · implies
操作前
parent r=3;subset x=5;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S055
S057 · implies
操作前
parent r=4;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S056
S058 · implies
操作前
parent r=4;subset x=1;left product r*x=4;right product x*r=4
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S057
S059 · implies
操作前
parent r=4;subset x=2;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S058
S060 · implies
操作前
parent r=4;subset x=4;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S059
S061 · implies
操作前
parent r=4;subset x=5;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S060
S062 · implies
操作前
parent r=5;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S061
S063 · implies
操作前
parent r=5;subset x=1;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S062
S064 · implies
操作前
parent r=5;subset x=2;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S063
S065 · implies
操作前
parent r=5;subset x=4;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S064
S066 · implies
操作前
parent r=5;subset x=5;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S065
S067 · implies
操作前
parent r=6;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S066
S068 · implies
操作前
parent r=6;subset x=1;left product r*x=6;right product x*r=6
操作後
left absorbed=否;right absorbed=否
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S067
S069 · implies
操作前
parent r=6;subset x=2;left product r*x=4;right product x*r=4
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S068
S070 · implies
操作前
parent r=6;subset x=4;left product r*x=2;right product x*r=2
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S069
S071 · implies
操作前
parent r=6;subset x=5;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S070
S072 · implies
操作前
parent r=7;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S071
S073 · implies
操作前
parent r=7;subset x=1;left product r*x=7;right product x*r=7
操作後
left absorbed=否;right absorbed=否
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S072
S074 · implies
操作前
parent r=7;subset x=2;left product r*x=2;right product x*r=2
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S073
S075 · implies
操作前
parent r=7;subset x=4;left product r*x=4;right product x*r=4
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S074
S076 · implies
操作前
parent r=7;subset x=5;left product r*x=5;right product x*r=5
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S075
S077 · implies
操作前
missing left [r,x,rx]=[[3, 1, 3], [6, 1, 6], [7, 1, 7]];missing right [x,r,xr]=[[1, 3, 3], [1, 6, 6], [1, 7, 7]]
操作後
left absorbing=否;right absorbing=否;empty subset absorption is vacuous
條件：無
吸收性兩責任各自保留，空子集兩側可空泛通過，但沒有因此得到加法子群或理想。
步驟識別與依賴
規則：ideal_absorption_not_additive_subgroup · 依賴：G001, S076
S078 · implies
操作前
additive subgroup=否;left absorbing=否;right absorbing=否
操作後
two-sided ideal=否
條件：無
加法子群、左吸收、右吸收三條合取，不把子環或單側理想當雙側理想。
步驟識別與依賴
規則：ideal_three_complete_obligations_conjunction · 依賴：G001, S077