原題與已知條件
子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-two-sided-absorption；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,7,6,0,5,4],[2,3,7,4,5,1,0,6],[3,7,4,6,0,2,1,5],[4,6,5,0,2,7,3,1],[5,0,1,2,7,6,4,3],[6,5,0,1,3,4,7,2],[7,4,6,5,1,3,2,0]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,7,6,2,6,7,0],[0,3,6,1,5,4,2,7],[0,4,2,5,1,3,6,7],[0,5,6,4,3,1,2,7],[0,6,7,2,6,2,7,0],[0,7,0,7,7,7,0,0]],"subset":[0,7]}。請依 [subset,missing_left,missing_right,left_absorbing,right_absorbing] 欄序回答。
G001 — 子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-two-sided-absorption；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,7,6,0,5,4],[2,3,7,4,5,1,0,6],[3,7,4,6,0,2,1,5],[4,6,5,0,2,7,3,1],[5,0,1,2,7,6,4,3],[6,5,0,1,3,4,7,2],[7,4,6,5,1,3,2,0]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,7,6,2,6,7,0],[0,3,6,1,5,4,2,7],[0,4,2,5,1,3,6,7],[0,5,6,4,3,1,2,7],[0,6,7,2,6,2,7,0],[0,7,0,7,7,7,0,0]],"subset":[0,7]}。請依 [subset,missing_left,missing_right,left_absorbing,right_absorbing] 欄序回答。
逐步推導
S001 · implies
操作前
same parent carrier Fin(8);addition=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 7, 6, 0, 5, 4], [2, 3, 7, 4, 5, 1, 0, 6], [3, 7, 4, 6, 0, 2, 1, 5], [4, 6, 5, 0, 2, 7, 3, 1], [5, 0, 1, 2, 7, 6, 4, 3], [6, 5, 0, 1, 3, 4, 7, 2], [7, 4, 6, 5, 1, 3, 2, 0]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 2, 7, 6, 2, 6, 7, 0], [0, 3, 6, 1, 5, 4, 2, 7], [0, 4, 2, 5, 1, 3, 6, 7], [0, 5, 6, 4, 3, 1, 2, 7], [0, 6, 7, 2, 6, 2, 7, 0], [0, 7, 0, 7, 7, 7, 0, 0]]
操作後
both complete operation tables typed and closed
條件：無
以下理想或交換律綁定同一父環；此處保留完整原表，不把元素標籤當成整數值。
步驟識別與依賴
規則：parent_ring_original_complete_tables · 依賴：G001
S002 · implies
操作前
every additive triple checked;first associativity failure=null;all additive pairs commute=是
操作後
additive zero candidates=[0];actual zero=0;two-sided additive inverses in label order=[0, 5, 6, 4, 3, 1, 2, 7]
條件：無
逐完整載體核加法結合、交換、兩側零與每個逆元；父環是題目使用的已合格前提，核查完整有限條件，不靠幾個樣本。
步驟識別與依賴
規則：parent_additive_abelian_group_complete_audit · 依賴：G001, S001
S003 · implies
操作前
every multiplicative triple checked;first associativity failure=null
操作後
multiplicative identity candidates=[1];actual one=1
條件：無
乘法只先要求結合與兩側one，不在此假設交換或非零元素可逆。
步驟識別與依賴
規則：parent_multiplicative_monoid_complete_audit · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
all 512 left and 512 right distributivity triples checked
操作後
first left failure=null;first right failure=null;zero=0;one=1;distinct=是
條件：無
左右分配責任分開完整核對，0與1必是不同實際元素；不因含一就宣稱交換環、整環或域。
步驟識別與依賴
規則：parent_both_distributivities_and_distinct_identities · 依賴：G001, S003
S005 · implies
操作前
raw subset=[0, 7];same qualified parent zero=0
操作後
sorted distinct parent labels=[0, 7]
條件：無
此子集按集合去重排序，但所有運算與逆元都來自同一父環，不另換加乘或把標籤當整數。
步驟識別與依賴
規則：ideal_subset_same_parent_normalization · 依賴：G001, S004
S006 · implies
操作前
parent r=0;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S005
S007 · implies
操作前
parent r=0;subset x=7;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S006
S008 · implies
操作前
parent r=1;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S007
S009 · implies
操作前
parent r=1;subset x=7;left product r*x=7;right product x*r=7
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S008
S010 · implies
操作前
parent r=2;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S009
S011 · implies
操作前
parent r=2;subset x=7;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S010
S012 · implies
操作前
parent r=3;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S011
S013 · implies
操作前
parent r=3;subset x=7;left product r*x=7;right product x*r=7
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S012
S014 · implies
操作前
parent r=4;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S013
S015 · implies
操作前
parent r=4;subset x=7;left product r*x=7;right product x*r=7
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S014
S016 · implies
操作前
parent r=5;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S015
S017 · implies
操作前
parent r=5;subset x=7;left product r*x=7;right product x*r=7
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S016
S018 · implies
操作前
parent r=6;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S017
S019 · implies
操作前
parent r=6;subset x=7;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S018
S020 · implies
操作前
parent r=7;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S019
S021 · implies
操作前
parent r=7;subset x=7;left product r*x=0;right product x*r=0
操作後
left absorbed=是;right absorbed=是
條件：無
每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。
步驟識別與依賴
規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S020
S022 · implies
操作前
missing left [r,x,rx]=[];missing right [x,r,xr]=[]
操作後
left absorbing=是;right absorbing=是;empty subset absorption is vacuous
條件：無
吸收性兩責任各自保留，空子集兩側可空泛通過，但沒有因此得到加法子群或理想。
步驟識別與依賴
規則：ideal_absorption_not_additive_subgroup · 依賴：G001, S021