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第 13751 題：有限雙邊理想

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0026-13751 · q-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-0076

原題與已知條件

子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-trivial-boundary；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,0],[2,3,4,5,6,7,0,1],[3,4,5,6,7,0,1,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[5,6,7,0,1,2,3,4],[6,7,0,1,2,3,4,5],[7,0,1,2,3,4,5,6]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,4,6,0,2,4,6],[0,3,6,1,4,7,2,5],[0,4,0,4,0,4,0,4],[0,5,2,7,4,1,6,3],[0,6,4,2,0,6,4,2],[0,7,6,5,4,3,2,1]],"subset":[0]}。請依 [subset,zero_ideal,whole_ring,qualified,boundary] 欄序回答。

  • G001 — 子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-trivial-boundary；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,6,7,0],[2,3,4,5,6,7,0,1],[3,4,5,6,7,0,1,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[5,6,7,0,1,2,3,4],[6,7,0,1,2,3,4,5],[7,0,1,2,3,4,5,6]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,4,6,0,2,4,6],[0,3,6,1,4,7,2,5],[0,4,0,4,0,4,0,4],[0,5,2,7,4,1,6,3],[0,6,4,2,0,6,4,2],[0,7,6,5,4,3,2,1]],"subset":[0]}。請依 [subset,zero_ideal,whole_ring,qualified,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

same parent carrier Fin(8);addition=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 2, 4, 6, 0, 2, 4, 6], [0, 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5], [0, 4, 0, 4, 0, 4, 0, 4], [0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3], [0, 6, 4, 2, 0, 6, 4, 2], [0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]]

操作後

both complete operation tables typed and closed

條件：無

以下理想或交換律綁定同一父環；此處保留完整原表，不把元素標籤當成整數值。

步驟識別與依賴

規則：parent_ring_original_complete_tables · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

every additive triple checked;first associativity failure=null;all additive pairs commute=是

操作後

additive zero candidates=[0];actual zero=0;two-sided additive inverses in label order=[0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

條件：無

逐完整載體核加法結合、交換、兩側零與每個逆元；父環是題目使用的已合格前提，核查完整有限條件，不靠幾個樣本。

步驟識別與依賴

規則：parent_additive_abelian_group_complete_audit · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

every multiplicative triple checked;first associativity failure=null

操作後

multiplicative identity candidates=[1];actual one=1

條件：無

乘法只先要求結合與兩側one，不在此假設交換或非零元素可逆。

步驟識別與依賴

規則：parent_multiplicative_monoid_complete_audit · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

all 512 left and 512 right distributivity triples checked

操作後

first left failure=null;first right failure=null;zero=0;one=1;distinct=是

條件：無

左右分配責任分開完整核對，0與1必是不同實際元素；不因含一就宣稱交換環、整環或域。

步驟識別與依賴

規則：parent_both_distributivities_and_distinct_identities · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

raw subset=[0];same qualified parent zero=0

操作後

sorted distinct parent labels=[0]

條件：無

此子集按集合去重排序，但所有運算與逆元都來自同一父環，不另換加乘或把標籤當整數。

步驟識別與依賴

規則：ideal_subset_same_parent_normalization · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

subset element=0;parent additive inverse=0

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 0];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

subset nonempty=是;actual zero belongs=是;missing sums=[];missing inverses=[]

操作後

additive subgroup=是

條件：無

非空、含實際零、加法閉包與逆元閉包同時成立才合格；空集合不能因閉包空泛成立而成加法子群。

步驟識別與依賴

規則：ideal_additive_subgroup_nonempty_zero_and_closure · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

parent r=0;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

parent r=1;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

parent r=2;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

parent r=3;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

parent r=4;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

parent r=5;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

parent r=6;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

parent r=7;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

missing left [r,x,rx]=[];missing right [x,r,xr]=[]

操作後

left absorbing=是;right absorbing=是;empty subset absorption is vacuous

條件：無

吸收性兩責任各自保留，空子集兩側可空泛通過，但沒有因此得到加法子群或理想。

步驟識別與依賴

規則：ideal_absorption_not_additive_subgroup · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

additive subgroup=是;left absorbing=是;right absorbing=是

操作後

two-sided ideal=是

條件：無

加法子群、左吸收、右吸收三條合取，不把子環或單側理想當雙側理想。

步驟識別與依賴

規則：ideal_three_complete_obligations_conjunction · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

actual zero=0;subset=[0];full carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

操作後

zero ideal=是;whole ring=否;supplied subset qualified=是

條件：無

{0}指實際零的單點，不是空集合。r0=r(0+0)=r0+r0，消去得r0=0；右側同理，故零理想雙側吸收；全環由閉包即合格。仍另外核原子集，不假設它恰為兩者之一。

步驟識別與依賴

規則：zero_and_whole_ideals_not_empty_subset · 依賴：G001, S018

逐步反向核對

  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0], 是, 否, 是, zero_and_whole_are_always_two_sided_ideals)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 94dde32f1c6c98c34abeadb2016bb2af7852400171a19b60c4d7a4db055068a7
  • candidate record SHA-256: 0350a771a0ceabaf9ba1db564474caa9aa9f677daedfb060ce9d5aa7a20eedb5
  • semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798
  • question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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