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第 13752 題：有限雙邊理想

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0026-13752 · q-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-0077

原題與已知條件

子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-trivial-boundary；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,7,0,6],[2,3,4,5,7,6,1,0],[3,4,5,7,6,0,2,1],[4,5,7,6,0,1,3,2],[5,7,6,0,1,2,4,3],[6,0,1,2,3,4,7,5],[7,6,0,1,2,3,5,4]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,4,7,0,2,7,4],[0,3,7,1,4,6,5,2],[0,4,0,4,0,4,4,0],[0,5,2,6,4,1,3,7],[0,6,7,5,4,3,1,2],[0,7,4,2,0,7,2,4]],"subset":[0,1,2,3,4,5,6,7]}。請依 [subset,zero_ideal,whole_ring,qualified,boundary] 欄序回答。

  • G001 — 子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-trivial-boundary；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,4,5,7,0,6],[2,3,4,5,7,6,1,0],[3,4,5,7,6,0,2,1],[4,5,7,6,0,1,3,2],[5,7,6,0,1,2,4,3],[6,0,1,2,3,4,7,5],[7,6,0,1,2,3,5,4]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,4,7,0,2,7,4],[0,3,7,1,4,6,5,2],[0,4,0,4,0,4,4,0],[0,5,2,6,4,1,3,7],[0,6,7,5,4,3,1,2],[0,7,4,2,0,7,2,4]],"subset":[0,1,2,3,4,5,6,7]}。請依 [subset,zero_ideal,whole_ring,qualified,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

same parent carrier Fin(8);addition=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 4, 5, 7, 0, 6], [2, 3, 4, 5, 7, 6, 1, 0], [3, 4, 5, 7, 6, 0, 2, 1], [4, 5, 7, 6, 0, 1, 3, 2], [5, 7, 6, 0, 1, 2, 4, 3], [6, 0, 1, 2, 3, 4, 7, 5], [7, 6, 0, 1, 2, 3, 5, 4]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 2, 4, 7, 0, 2, 7, 4], [0, 3, 7, 1, 4, 6, 5, 2], [0, 4, 0, 4, 0, 4, 4, 0], [0, 5, 2, 6, 4, 1, 3, 7], [0, 6, 7, 5, 4, 3, 1, 2], [0, 7, 4, 2, 0, 7, 2, 4]]

操作後

both complete operation tables typed and closed

條件：無

以下理想或交換律綁定同一父環；此處保留完整原表，不把元素標籤當成整數值。

步驟識別與依賴

規則：parent_ring_original_complete_tables · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

every additive triple checked;first associativity failure=null;all additive pairs commute=是

操作後

additive zero candidates=[0];actual zero=0;two-sided additive inverses in label order=[0, 6, 7, 5, 4, 3, 1, 2]

條件：無

逐完整載體核加法結合、交換、兩側零與每個逆元；父環是題目使用的已合格前提，核查完整有限條件，不靠幾個樣本。

步驟識別與依賴

規則：parent_additive_abelian_group_complete_audit · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

every multiplicative triple checked;first associativity failure=null

操作後

multiplicative identity candidates=[1];actual one=1

條件：無

乘法只先要求結合與兩側one，不在此假設交換或非零元素可逆。

步驟識別與依賴

規則：parent_multiplicative_monoid_complete_audit · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

all 512 left and 512 right distributivity triples checked

操作後

first left failure=null;first right failure=null;zero=0;one=1;distinct=是

條件：無

左右分配責任分開完整核對，0與1必是不同實際元素；不因含一就宣稱交換環、整環或域。

步驟識別與依賴

規則：parent_both_distributivities_and_distinct_identities · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

raw subset=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];same qualified parent zero=0

操作後

sorted distinct parent labels=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

條件：無

此子集按集合去重排序，但所有運算與逆元都來自同一父環，不另換加乘或把標籤當整數。

步驟識別與依賴

規則：ideal_subset_same_parent_normalization · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

subset element=0;parent additive inverse=0

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 0];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 1];parent sum=1

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 2];parent sum=2

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 3];parent sum=3

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 4];parent sum=4

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 5];parent sum=5

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 6];parent sum=6

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

subset ordered pair=[0, 7];parent sum=7

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

subset element=1;parent additive inverse=6

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

subset ordered pair=[1, 0];parent sum=1

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

subset ordered pair=[1, 1];parent sum=2

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

subset ordered pair=[1, 2];parent sum=3

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

subset ordered pair=[1, 3];parent sum=4

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

subset ordered pair=[1, 4];parent sum=5

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

subset ordered pair=[1, 5];parent sum=7

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

subset ordered pair=[1, 6];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

subset ordered pair=[1, 7];parent sum=6

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

subset element=2;parent additive inverse=7

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

subset ordered pair=[2, 0];parent sum=2

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

subset ordered pair=[2, 1];parent sum=3

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

subset ordered pair=[2, 2];parent sum=4

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

subset ordered pair=[2, 3];parent sum=5

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

subset ordered pair=[2, 4];parent sum=7

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

subset ordered pair=[2, 5];parent sum=6

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

subset ordered pair=[2, 6];parent sum=1

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

subset ordered pair=[2, 7];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

subset element=3;parent additive inverse=5

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

subset ordered pair=[3, 0];parent sum=3

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

subset ordered pair=[3, 1];parent sum=4

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

subset ordered pair=[3, 2];parent sum=5

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

subset ordered pair=[3, 3];parent sum=7

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

subset ordered pair=[3, 4];parent sum=6

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

subset ordered pair=[3, 5];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

subset ordered pair=[3, 6];parent sum=2

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

subset ordered pair=[3, 7];parent sum=1

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

subset element=4;parent additive inverse=4

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

subset ordered pair=[4, 0];parent sum=4

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

subset ordered pair=[4, 1];parent sum=5

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

subset ordered pair=[4, 2];parent sum=7

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

subset ordered pair=[4, 3];parent sum=6

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

subset ordered pair=[4, 4];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

subset ordered pair=[4, 5];parent sum=1

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

subset ordered pair=[4, 6];parent sum=3

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

subset ordered pair=[4, 7];parent sum=2

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

subset element=5;parent additive inverse=3

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

subset ordered pair=[5, 0];parent sum=5

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

subset ordered pair=[5, 1];parent sum=7

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

subset ordered pair=[5, 2];parent sum=6

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

subset ordered pair=[5, 3];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

subset ordered pair=[5, 4];parent sum=1

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

subset ordered pair=[5, 5];parent sum=2

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

subset ordered pair=[5, 6];parent sum=4

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

subset ordered pair=[5, 7];parent sum=3

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

subset element=6;parent additive inverse=1

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

subset ordered pair=[6, 0];parent sum=6

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

subset ordered pair=[6, 1];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

subset ordered pair=[6, 2];parent sum=1

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

subset ordered pair=[6, 3];parent sum=2

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

subset ordered pair=[6, 4];parent sum=3

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

subset ordered pair=[6, 5];parent sum=4

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

subset ordered pair=[6, 6];parent sum=7

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

subset ordered pair=[6, 7];parent sum=5

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

subset element=7;parent additive inverse=2

操作後

inverse belongs to subset=是

條件：無

加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。

步驟識別與依賴

規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

subset ordered pair=[7, 0];parent sum=7

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

subset ordered pair=[7, 1];parent sum=6

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

subset ordered pair=[7, 2];parent sum=0

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

subset ordered pair=[7, 3];parent sum=1

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

subset ordered pair=[7, 4];parent sum=2

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

subset ordered pair=[7, 5];parent sum=3

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

subset ordered pair=[7, 6];parent sum=5

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

subset ordered pair=[7, 7];parent sum=4

操作後

sum belongs to subset=是

條件：無

逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。

步驟識別與依賴

規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

subset nonempty=是;actual zero belongs=是;missing sums=[];missing inverses=[]

操作後

additive subgroup=是

條件：無

非空、含實際零、加法閉包與逆元閉包同時成立才合格；空集合不能因閉包空泛成立而成加法子群。

步驟識別與依賴

規則：ideal_additive_subgroup_nonempty_zero_and_closure · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

parent r=0;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

parent r=0;subset x=1;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

parent r=0;subset x=2;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

parent r=0;subset x=3;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

parent r=0;subset x=4;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

parent r=0;subset x=5;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

parent r=0;subset x=6;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

parent r=0;subset x=7;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

parent r=1;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

parent r=1;subset x=1;left product r*x=1;right product x*r=1

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S087

S089 · implies

操作前

parent r=1;subset x=2;left product r*x=2;right product x*r=2

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

parent r=1;subset x=3;left product r*x=3;right product x*r=3

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

parent r=1;subset x=4;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

parent r=1;subset x=5;left product r*x=5;right product x*r=5

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

parent r=1;subset x=6;left product r*x=6;right product x*r=6

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

parent r=1;subset x=7;left product r*x=7;right product x*r=7

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

parent r=2;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

parent r=2;subset x=1;left product r*x=2;right product x*r=2

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

parent r=2;subset x=2;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S096

S098 · implies

操作前

parent r=2;subset x=3;left product r*x=7;right product x*r=7

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S097

S099 · implies

操作前

parent r=2;subset x=4;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S098

S100 · implies

操作前

parent r=2;subset x=5;left product r*x=2;right product x*r=2

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S099

S101 · implies

操作前

parent r=2;subset x=6;left product r*x=7;right product x*r=7

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S100

S102 · implies

操作前

parent r=2;subset x=7;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S101

S103 · implies

操作前

parent r=3;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S102

S104 · implies

操作前

parent r=3;subset x=1;left product r*x=3;right product x*r=3

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S103

S105 · implies

操作前

parent r=3;subset x=2;left product r*x=7;right product x*r=7

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S104

S106 · implies

操作前

parent r=3;subset x=3;left product r*x=1;right product x*r=1

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S105

S107 · implies

操作前

parent r=3;subset x=4;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S106

S108 · implies

操作前

parent r=3;subset x=5;left product r*x=6;right product x*r=6

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S107

S109 · implies

操作前

parent r=3;subset x=6;left product r*x=5;right product x*r=5

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S108

S110 · implies

操作前

parent r=3;subset x=7;left product r*x=2;right product x*r=2

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S109

S111 · implies

操作前

parent r=4;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S110

S112 · implies

操作前

parent r=4;subset x=1;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S111

S113 · implies

操作前

parent r=4;subset x=2;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S112

S114 · implies

操作前

parent r=4;subset x=3;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S113

S115 · implies

操作前

parent r=4;subset x=4;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S114

S116 · implies

操作前

parent r=4;subset x=5;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S115

S117 · implies

操作前

parent r=4;subset x=6;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S116

S118 · implies

操作前

parent r=4;subset x=7;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S117

S119 · implies

操作前

parent r=5;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S118

S120 · implies

操作前

parent r=5;subset x=1;left product r*x=5;right product x*r=5

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S119

S121 · implies

操作前

parent r=5;subset x=2;left product r*x=2;right product x*r=2

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S120

S122 · implies

操作前

parent r=5;subset x=3;left product r*x=6;right product x*r=6

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S121

S123 · implies

操作前

parent r=5;subset x=4;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S122

S124 · implies

操作前

parent r=5;subset x=5;left product r*x=1;right product x*r=1

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S123

S125 · implies

操作前

parent r=5;subset x=6;left product r*x=3;right product x*r=3

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S124

S126 · implies

操作前

parent r=5;subset x=7;left product r*x=7;right product x*r=7

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S125

S127 · implies

操作前

parent r=6;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S126

S128 · implies

操作前

parent r=6;subset x=1;left product r*x=6;right product x*r=6

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S127

S129 · implies

操作前

parent r=6;subset x=2;left product r*x=7;right product x*r=7

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S128

S130 · implies

操作前

parent r=6;subset x=3;left product r*x=5;right product x*r=5

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S129

S131 · implies

操作前

parent r=6;subset x=4;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S130

S132 · implies

操作前

parent r=6;subset x=5;left product r*x=3;right product x*r=3

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S131

S133 · implies

操作前

parent r=6;subset x=6;left product r*x=1;right product x*r=1

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S132

S134 · implies

操作前

parent r=6;subset x=7;left product r*x=2;right product x*r=2

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S133

S135 · implies

操作前

parent r=7;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S134

S136 · implies

操作前

parent r=7;subset x=1;left product r*x=7;right product x*r=7

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S135

S137 · implies

操作前

parent r=7;subset x=2;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S136

S138 · implies

操作前

parent r=7;subset x=3;left product r*x=2;right product x*r=2

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S137

S139 · implies

操作前

parent r=7;subset x=4;left product r*x=0;right product x*r=0

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S138

S140 · implies

操作前

parent r=7;subset x=5;left product r*x=7;right product x*r=7

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S139

S141 · implies

操作前

parent r=7;subset x=6;left product r*x=2;right product x*r=2

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S140

S142 · implies

操作前

parent r=7;subset x=7;left product r*x=4;right product x*r=4

操作後

left absorbed=是;right absorbed=是

條件：無

每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。

步驟識別與依賴

規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S141

S143 · implies

操作前

missing left [r,x,rx]=[];missing right [x,r,xr]=[]

操作後

left absorbing=是;right absorbing=是;empty subset absorption is vacuous

條件：無

吸收性兩責任各自保留，空子集兩側可空泛通過，但沒有因此得到加法子群或理想。

步驟識別與依賴

規則：ideal_absorption_not_additive_subgroup · 依賴：G001, S142

S144 · implies

操作前

additive subgroup=是;left absorbing=是;right absorbing=是

操作後

two-sided ideal=是

條件：無

加法子群、左吸收、右吸收三條合取，不把子環或單側理想當雙側理想。

步驟識別與依賴

規則：ideal_three_complete_obligations_conjunction · 依賴：G001, S143

S145 · implies

操作前

actual zero=0;subset=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];full carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

操作後

zero ideal=否;whole ring=是;supplied subset qualified=是

條件：無

{0}指實際零的單點，不是空集合。r0=r(0+0)=r0+r0，消去得r0=0；右側同理，故零理想雙側吸收；全環由閉包即合格。仍另外核原子集，不假設它恰為兩者之一。

步驟識別與依賴

規則：zero_and_whole_ideals_not_empty_subset · 依賴：G001, S144

逐步反向核對

  • S145 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S144 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S143 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S142 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S141 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S140 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S139 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S137 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S136 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S135 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S134 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S133 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S132 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S131 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S130 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S129 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S128 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S127 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S125 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S122 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S115 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S107 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], 否, 是, 是, zero_and_whole_are_always_two_sided_ideals)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: f71aee0d092fdf2a05d7b220ed1f313c6578721fb59099d005e97b81481d3cfc
  • candidate record SHA-256: 10442086d7ffb307d6c555c8e2ca8e70cdfedf52551bcc89f86f0cdcd143c4c2
  • semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798
  • question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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