R0026-13829 · q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0054
內積須同時雙線性對稱且正定。操作=inner-positive-definite；資料={"matrix":[[5,2],[2,5]]}。請依 [matrix,symmetric,leading_minor,determinant,positive_definite,certificate] 欄序回答。
G001 — 內積須同時雙線性對稱且正定。操作=inner-positive-definite；資料={"matrix":[[5,2],[2,5]]}。請依 [matrix,symmetric,leading_minor,determinant,positive_definite,certificate] 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
candidate real R2 form;matrix=[[5, 2], [2, 5]];B(x,y)=x^T*A*y
操作後
matrix distributivity supplies bilinearity;other inner-product obligations remain separate
條件：無
矩陣公式本身雙線性，但不先假設對稱或正定；本協定只處理實數R²，不加複共軛或一般維度推論。
規則：inner_candidate_bilinear_not_presumed_inner_product · 依賴：G001
操作前
opposite off-diagonal entries=[2, 2]
操作後
symmetric=是
條件：無
以標準基向量可讀出兩側矩陣係數，因此對稱當且僅當兩個非對角係數一致；不能由一次B(x,y)=B(y,x)猜全稱對稱。
規則：inner_symmetry_additional_to_bilinearity · 依賴：G001, S001
操作前
inner determinant diagonal product := mul(5, 5)
操作後
inner determinant diagonal product = 25
條件：無
依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
inner determinant off-diagonal product := mul(2, 2)
操作後
inner determinant off-diagonal product = 4
條件：無
依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
inner signed determinant := sub(25, 4)
操作後
inner signed determinant = 21
條件：無
依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
inner completed-square slope := div(2, 5)
操作後
inner completed-square slope = 2/5
條件：無
依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
inner completed-square remainder := div(21, 5)
操作後
inner completed-square remainder = 21/5
條件：無
依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
symmetric matrix=[[5, 2], [2, 5]];positive leading=5;b/a=2/5;det/a=21/5
操作後
q(s,t)=(5)*(s+(2/5)*t)^2+(21/5)*t^2
條件：無
在a>0才配方。若det>0，t非零時第二項正，t=0且s非零時第一項正；反向嚴格正定先由e1得a>0，再令s=−(b/a)t、t=1得det/a>0。
規則：R2_Sylvester_completed_square_identity · 依賴：G001, S007
操作前
symmetric=是;leading=5;determinant=21
操作後
strict symmetric R2 certificate=是
條件：無
最後旗標合取對稱、首主子式>0與行列式>0；這是此R²對稱內積協定，不額外宣稱完備。
規則：strict_Sylvester_conditions_conjunction · 依賴：G001, S008
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner completed-square remainder，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner completed-square slope，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner signed determinant，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner determinant off-diagonal product，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner determinant diagonal product，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([[5, 2], [2, 5]], 是, 5, 21, 是, Sylvester_R2_universal_certificate)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 8e58a6ea39831afbb83efe2378fda626e809c2e22be3771e63d044692662bc4bcandidate record SHA-256: f092266c3c13722d5b02becc5dab6c8f1ae48c7eb94596f6ccb7ee70f7b46321semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED