第 13972 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-l1-norm；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]]}。請依 [matrix,column_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-l1-norm；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]]}。請依 [matrix,column_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

original column index=0;ordered entries=[9, -1]

absolute entries=[9, 1]

operator column0 absolute sum := sum(9, 1)

operator column0 absolute sum = 10

original column index=1;ordered entries=[-3, -9]

absolute entries=[3, 9]

operator column1 absolute sum := sum(3, 9)

operator column1 absolute sum = 12

original column index=2;ordered entries=[3, -5]

absolute entries=[3, 5]

operator column2 absolute sum := sum(3, 5)

operator column2 absolute sum = 8

all absolute column sums=[10, 12, 8]

maximum=12;first maximizing column=1

arbitrary x in R^3;all column sums<=12

norm1(Ax)<=sum_j(sum_i abs(Aij))*abs(xj)<=12*norm1(x)

attaining unit input image:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[0, 1, 0]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

attaining unit input image row0 column0 product := mul(9, 0)

attaining unit input image row0 column0 product = 0

attaining unit input image row0 column1 product := mul(-3, 1)

attaining unit input image row0 column1 product = -3

attaining unit input image row0 column2 product := mul(3, 0)

attaining unit input image row0 column2 product = 0

attaining unit input image row0 sum := sum(0, -3, 0)

attaining unit input image row0 sum = -3

attaining unit input image row1 column0 product := mul(-1, 0)

attaining unit input image row1 column0 product = 0

attaining unit input image row1 column1 product := mul(-9, 1)

attaining unit input image row1 column1 product = -9

attaining unit input image row1 column2 product := mul(-5, 0)

attaining unit input image row1 column2 product = 0

attaining unit input image row1 sum := sum(0, -9, 0)

attaining unit input image row1 sum = -9

attaining input:signed vector=[0, 1, 0];norm=l1

coordinate absolute values=[0, 1, 0]

attaining input l1 sum := sum(0, 1, 0)

attaining input l1 sum = 1

attaining output:signed vector=[-3, -9];norm=l1

coordinate absolute values=[3, 9]

attaining output l1 sum := sum(3, 9)

attaining output l1 sum = 12

explicit input=[0, 1, 0];input norm=1;image=[-3, -9];output norm=12

uniform upper bound=12 and attained ratio=12;exact induced norm=12

逐步反向核對

• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining output l1 sum，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining input l1 sum，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column2 absolute sum，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column1 absolute sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column0 absolute sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[9, -3, 3], [-1, -9, -5]], [10, 12, 8], 12, maximum_absolute_column_sum)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。