第 13989 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-linfinity-norm；資料={"matrix":[[1,3,1],[1,-1,-6]]}。請依 [matrix,row_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-linfinity-norm；資料={"matrix":[[1,3,1],[1,-1,-6]]}。請依 [matrix,row_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

original row index=0;ordered entries=[1, 3, 1]

absolute entries=[1, 3, 1]

operator row0 absolute sum := sum(1, 3, 1)

operator row0 absolute sum = 5

original row index=1;ordered entries=[1, -1, -6]

absolute entries=[1, 1, 6]

operator row1 absolute sum := sum(1, 1, 6)

operator row1 absolute sum = 8

all absolute row sums=[5, 8]

maximum=8;first maximizing row=1

arbitrary x in R^3;all row sums<=8

each abs((Ax)i)<=sum_j abs(Aij)*normInfinity(x)<=8*normInfinity(x);take maximum_i

attaining unit input image:matrix=[[1, 3, 1], [1, -1, -6]];input=[1, -1, -1]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

attaining unit input image row0 column0 product := mul(1, 1)

attaining unit input image row0 column0 product = 1

attaining unit input image row0 column1 product := mul(3, -1)

attaining unit input image row0 column1 product = -3

attaining unit input image row0 column2 product := mul(1, -1)

attaining unit input image row0 column2 product = -1

attaining unit input image row0 sum := sum(1, -3, -1)

attaining unit input image row0 sum = -3

attaining unit input image row1 column0 product := mul(1, 1)

attaining unit input image row1 column0 product = 1

attaining unit input image row1 column1 product := mul(-1, -1)

attaining unit input image row1 column1 product = 1

attaining unit input image row1 column2 product := mul(-6, -1)

attaining unit input image row1 column2 product = 6

attaining unit input image row1 sum := sum(1, 1, 6)

attaining unit input image row1 sum = 8

attaining input:signed vector=[1, -1, -1];norm=linfinity

coordinate absolute values=[1, 1, 1]

attaining input:all absolute coordinates=[1, 1, 1]

maximum=1;first attaining coordinate=0

attaining output:signed vector=[-3, 8];norm=linfinity

coordinate absolute values=[3, 8]

attaining output:all absolute coordinates=[3, 8]

maximum=8;first attaining coordinate=1

explicit input=[1, -1, -1];input norm=1;image=[-3, 8];output norm=8

uniform upper bound=8 and attained ratio=8;exact induced norm=8

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator row1 absolute sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator row0 absolute sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1, 3, 1], [1, -1, -6]], [5, 8], 8, maximum_absolute_row_sum)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。