第 13994 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-linfinity-norm；資料={"matrix":[[6,1,5],[1,-6,6]]}。請依 [matrix,row_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-linfinity-norm；資料={"matrix":[[6,1,5],[1,-6,6]]}。請依 [matrix,row_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

original row index=0;ordered entries=[6, 1, 5]

absolute entries=[6, 1, 5]

operator row0 absolute sum := sum(6, 1, 5)

operator row0 absolute sum = 12

original row index=1;ordered entries=[1, -6, 6]

absolute entries=[1, 6, 6]

operator row1 absolute sum := sum(1, 6, 6)

operator row1 absolute sum = 13

all absolute row sums=[12, 13]

maximum=13;first maximizing row=1

arbitrary x in R^3;all row sums<=13

each abs((Ax)i)<=sum_j abs(Aij)*normInfinity(x)<=13*normInfinity(x);take maximum_i

attaining unit input image:matrix=[[6, 1, 5], [1, -6, 6]];input=[1, -1, 1]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

attaining unit input image row0 column0 product := mul(6, 1)

attaining unit input image row0 column0 product = 6

attaining unit input image row0 column1 product := mul(1, -1)

attaining unit input image row0 column1 product = -1

attaining unit input image row0 column2 product := mul(5, 1)

attaining unit input image row0 column2 product = 5

attaining unit input image row0 sum := sum(6, -1, 5)

attaining unit input image row0 sum = 10

attaining unit input image row1 column0 product := mul(1, 1)

attaining unit input image row1 column0 product = 1

attaining unit input image row1 column1 product := mul(-6, -1)

attaining unit input image row1 column1 product = 6

attaining unit input image row1 column2 product := mul(6, 1)

attaining unit input image row1 column2 product = 6

attaining unit input image row1 sum := sum(1, 6, 6)

attaining unit input image row1 sum = 13

attaining input:signed vector=[1, -1, 1];norm=linfinity

coordinate absolute values=[1, 1, 1]

attaining input:all absolute coordinates=[1, 1, 1]

maximum=1;first attaining coordinate=0

attaining output:signed vector=[10, 13];norm=linfinity

coordinate absolute values=[10, 13]

attaining output:all absolute coordinates=[10, 13]

maximum=13;first attaining coordinate=1

explicit input=[1, -1, 1];input norm=1;image=[10, 13];output norm=13

uniform upper bound=13 and attained ratio=13;exact induced norm=13

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator row1 absolute sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator row0 absolute sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[6, 1, 5], [1, -6, 6]], [12, 13], 13, maximum_absolute_row_sum)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。