第 13997 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-linfinity-norm；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]]}。請依 [matrix,row_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-linfinity-norm；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]]}。請依 [matrix,row_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

original row index=0;ordered entries=[9, -3, 3]

absolute entries=[9, 3, 3]

operator row0 absolute sum := sum(9, 3, 3)

operator row0 absolute sum = 15

original row index=1;ordered entries=[-1, -9, -5]

absolute entries=[1, 9, 5]

operator row1 absolute sum := sum(1, 9, 5)

operator row1 absolute sum = 15

all absolute row sums=[15, 15]

maximum=15;first maximizing row=0

arbitrary x in R^3;all row sums<=15

each abs((Ax)i)<=sum_j abs(Aij)*normInfinity(x)<=15*normInfinity(x);take maximum_i

attaining unit input image:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[1, -1, 1]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

attaining unit input image row0 column0 product := mul(9, 1)

attaining unit input image row0 column0 product = 9

attaining unit input image row0 column1 product := mul(-3, -1)

attaining unit input image row0 column1 product = 3

attaining unit input image row0 column2 product := mul(3, 1)

attaining unit input image row0 column2 product = 3

attaining unit input image row0 sum := sum(9, 3, 3)

attaining unit input image row0 sum = 15

attaining unit input image row1 column0 product := mul(-1, 1)

attaining unit input image row1 column0 product = -1

attaining unit input image row1 column1 product := mul(-9, -1)

attaining unit input image row1 column1 product = 9

attaining unit input image row1 column2 product := mul(-5, 1)

attaining unit input image row1 column2 product = -5

attaining unit input image row1 sum := sum(-1, 9, -5)

attaining unit input image row1 sum = 3

attaining input:signed vector=[1, -1, 1];norm=linfinity

coordinate absolute values=[1, 1, 1]

attaining input:all absolute coordinates=[1, 1, 1]

maximum=1;first attaining coordinate=0

attaining output:signed vector=[15, 3];norm=linfinity

coordinate absolute values=[15, 3]

attaining output:all absolute coordinates=[15, 3]

maximum=15;first attaining coordinate=0

explicit input=[1, -1, 1];input norm=1;image=[15, 3];output norm=15

uniform upper bound=15 and attained ratio=15;exact induced norm=15

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator row1 absolute sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator row0 absolute sum，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[9, -3, 3], [-1, -9, -5]], [15, 15], 15, maximum_absolute_row_sum)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。