第 13903 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[-10,-1,1],[0,10,4]],"norm_name":"l1","vector":[-2,0,-1],"C":13}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[-10,-1,1],[0,10,4]],"norm_name":"l1","vector":[-2,0,-1],"C":13}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

provided input image:matrix=[[-10, -1, 1], [0, 10, 4]];input=[-2, 0, -1]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

provided input image row0 column0 product := mul(-10, -2)

provided input image row0 column0 product = 20

provided input image row0 column1 product := mul(-1, 0)

provided input image row0 column1 product = 0

provided input image row0 column2 product := mul(1, -1)

provided input image row0 column2 product = -1

provided input image row0 sum := sum(20, 0, -1)

provided input image row0 sum = 19

provided input image row1 column0 product := mul(0, -2)

provided input image row1 column0 product = 0

provided input image row1 column1 product := mul(10, 0)

provided input image row1 column1 product = 0

provided input image row1 column2 product := mul(4, -1)

provided input image row1 column2 product = -4

provided input image row1 sum := sum(0, 0, -4)

provided input image row1 sum = -4

provided input:signed vector=[-2, 0, -1];norm=l1

coordinate absolute values=[2, 0, 1]

provided input l1 sum := sum(2, 0, 1)

provided input l1 sum = 3

provided output:signed vector=[19, -4];norm=l1

coordinate absolute values=[19, 4]

provided output l1 sum := sum(19, 4)

provided output l1 sum = 23

proposed C times input norm := mul(13, 3)

proposed C times input norm = 39

provided input=[-2, 0, -1];output norm=23;C=13;input norm=3;rhs=39

this instance passes=是;instance_only

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 proposed C times input norm，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided output l1 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input l1 sum，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(l1, [-2, 0, -1], [19, -4], 3, 23, 13, 39, 是, instance_only)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。