第 13909 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[-4,-2,-3],[1,4,-5]],"norm_name":"l1","vector":[4,1,-2],"C":7}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[-4,-2,-3],[1,4,-5]],"norm_name":"l1","vector":[4,1,-2],"C":7}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

provided input image:matrix=[[-4, -2, -3], [1, 4, -5]];input=[4, 1, -2]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

provided input image row0 column0 product := mul(-4, 4)

provided input image row0 column0 product = -16

provided input image row0 column1 product := mul(-2, 1)

provided input image row0 column1 product = -2

provided input image row0 column2 product := mul(-3, -2)

provided input image row0 column2 product = 6

provided input image row0 sum := sum(-16, -2, 6)

provided input image row0 sum = -12

provided input image row1 column0 product := mul(1, 4)

provided input image row1 column0 product = 4

provided input image row1 column1 product := mul(4, 1)

provided input image row1 column1 product = 4

provided input image row1 column2 product := mul(-5, -2)

provided input image row1 column2 product = 10

provided input image row1 sum := sum(4, 4, 10)

provided input image row1 sum = 18

provided input:signed vector=[4, 1, -2];norm=l1

coordinate absolute values=[4, 1, 2]

provided input l1 sum := sum(4, 1, 2)

provided input l1 sum = 7

provided output:signed vector=[-12, 18];norm=l1

coordinate absolute values=[12, 18]

provided output l1 sum := sum(12, 18)

provided output l1 sum = 30

proposed C times input norm := mul(7, 7)

proposed C times input norm = 49

provided input=[4, 1, -2];output norm=30;C=7;input norm=7;rhs=49

this instance passes=是;instance_only

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 proposed C times input norm，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided output l1 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input l1 sum，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(l1, [4, 1, -2], [-12, 18], 7, 30, 7, 49, 是, instance_only)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。