第 13917 題：有界線性算子

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[4,-1,-1],[-1,-4,-4]],"norm_name":"l1","vector":[3,-1,-1],"C":4}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。

• G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[4,-1,-1],[-1,-4,-4]],"norm_name":"l1","vector":[3,-1,-1],"C":4}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-bounded-linear-operator

逐步推導

provided input image:matrix=[[4, -1, -1], [-1, -4, -4]];input=[3, -1, -1]

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

provided input image row0 column0 product := mul(4, 3)

provided input image row0 column0 product = 12

provided input image row0 column1 product := mul(-1, -1)

provided input image row0 column1 product = 1

provided input image row0 column2 product := mul(-1, -1)

provided input image row0 column2 product = 1

provided input image row0 sum := sum(12, 1, 1)

provided input image row0 sum = 14

provided input image row1 column0 product := mul(-1, 3)

provided input image row1 column0 product = -3

provided input image row1 column1 product := mul(-4, -1)

provided input image row1 column1 product = 4

provided input image row1 column2 product := mul(-4, -1)

provided input image row1 column2 product = 4

provided input image row1 sum := sum(-3, 4, 4)

provided input image row1 sum = 5

provided input:signed vector=[3, -1, -1];norm=l1

coordinate absolute values=[3, 1, 1]

provided input l1 sum := sum(3, 1, 1)

provided input l1 sum = 5

provided output:signed vector=[14, 5];norm=l1

coordinate absolute values=[14, 5]

provided output l1 sum := sum(14, 5)

provided output l1 sum = 19

proposed C times input norm := mul(4, 5)

proposed C times input norm = 20

provided input=[3, -1, -1];output norm=19;C=4;input norm=5;rhs=20

this instance passes=是;instance_only

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 proposed C times input norm，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided output l1 sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input l1 sum，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 sum，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 sum，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(l1, [3, -1, -1], [14, 5], 5, 19, 4, 20, 是, instance_only)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。