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第 13933 題：有界線性算子

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0026-13933 · q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0083

原題與已知條件

來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bounded-certificate；資料={"matrix":[[-5,-3,5],[0,5,3]],"norm_name":"linfinity","C":14}。請依 [norm_name,exact_operator_norm,C,uniform_bound,optimal,boundary] 欄序回答。

  • G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bounded-certificate；資料={"matrix":[[-5,-3,5],[0,5,3]],"norm_name":"linfinity","C":14}。請依 [norm_name,exact_operator_norm,C,uniform_bound,optimal,boundary] 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

original row index=0;ordered entries=[-5, -3, 5]

操作後

absolute entries=[5, 3, 5]

條件：無

l1沿每欄往下加，linfinity沿每列橫加；保留原軸次序，不因長方形而混交換行列。

步驟識別與依賴

規則：operator_correct_axis_absolute_sum · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

operator row0 absolute sum := sum(5, 3, 5)

操作後

operator row0 absolute sum = 13

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

original row index=1;ordered entries=[0, 5, 3]

操作後

absolute entries=[0, 5, 3]

條件：無

l1沿每欄往下加，linfinity沿每列橫加；保留原軸次序，不因長方形而混交換行列。

步驟識別與依賴

規則：operator_correct_axis_absolute_sum · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

operator row1 absolute sum := sum(0, 5, 3)

操作後

operator row1 absolute sum = 8

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

all absolute row sums=[13, 8]

操作後

maximum=13;first maximizing row=0

條件：無

先算完所有指定軸的和，才取最大值；這個值稍後要同時有全稱上界與達到的單位輸入。

步驟識別與依賴

規則：operator_maximum_axis_sum · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

arbitrary x in R^3;all row sums<=13

操作後

each abs((Ax)i)<=sum_j abs(Aij)*normInfinity(x)<=13*normInfinity(x);take maximum_i

條件：無

每個輸入座標絕對值≤輸入最大範數，先界每列再取輸出最大值，得到全稱統一界。

步驟識別與依賴

規則：operator_linfinity_universal_row_bound · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

attaining unit input image:matrix=[[-5, -3, 5], [0, 5, 3]];input=[-1, -1, 1]

操作後

input dimension=3;output dimension=2;rows dot input

條件：無

保留長方形矩陣的欄輸入、列輸出角色，計算值可超過原輸入座標界，不重新截斷。

步驟識別與依賴

規則：matrix_row_column_roles · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

attaining unit input image row0 column0 product := mul(-5, -1)

操作後

attaining unit input image row0 column0 product = 5

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

attaining unit input image row0 column1 product := mul(-3, -1)

操作後

attaining unit input image row0 column1 product = 3

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

attaining unit input image row0 column2 product := mul(5, 1)

操作後

attaining unit input image row0 column2 product = 5

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

attaining unit input image row0 sum := sum(5, 3, 5)

操作後

attaining unit input image row0 sum = 13

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

attaining unit input image row1 column0 product := mul(0, -1)

操作後

attaining unit input image row1 column0 product = 0

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

attaining unit input image row1 column1 product := mul(5, -1)

操作後

attaining unit input image row1 column1 product = -5

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

attaining unit input image row1 column2 product := mul(3, 1)

操作後

attaining unit input image row1 column2 product = 3

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

attaining unit input image row1 sum := sum(0, -5, 3)

操作後

attaining unit input image row1 sum = -2

條件：無

依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

attaining input:signed vector=[-1, -1, 1];norm=linfinity

操作後

coordinate absolute values=[1, 1, 1]

條件：無

先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。

步驟識別與依賴

規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

attaining input:all absolute coordinates=[1, 1, 1]

操作後

maximum=1;first attaining coordinate=0

條件：無

非空有限清單的最大值須覆蓋每項且由一項達到，不拿最大帶號座標替代。

步驟識別與依賴

規則：operator_linfinity_full_maximum · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

attaining output:signed vector=[13, -2];norm=linfinity

操作後

coordinate absolute values=[13, 2]

條件：無

先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。

步驟識別與依賴

規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

attaining output:all absolute coordinates=[13, 2]

操作後

maximum=13;first attaining coordinate=0

條件：無

非空有限清單的最大值須覆蓋每項且由一項達到，不拿最大帶號座標替代。

步驟識別與依賴

規則：operator_linfinity_full_maximum · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

explicit input=[-1, -1, 1];input norm=1;image=[13, -2];output norm=13

操作後

uniform upper bound=13 and attained ratio=13;exact induced norm=13

條件：無

l1取最大欄的座標基，linfinity取最大列的係數符號；零矩陣仍選非零單位向量。已證所有輸入上界L，又有單位輸入達L，所以更小常數不可能，才是exact norm。

步驟識別與依賴

規則：operator_attainment_proves_least_uniform_constant · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

exact induced norm=13;proposed nonnegative C=14;attaining unit input=[-1, -1, 1]

操作後

uniform bound=是;optimal bound=否

條件：無

C≥L時，由範數非負可把全稱界L放寬到C；C<L時達到L的單位輸入就是反例。只有等號才最佳，不把可用但偏大的C叫exact norm。

步驟識別與依賴

規則：operator_usable_bound_distinct_from_exact_optimum · 依賴：G001, S020

逐步反向核對

  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 sum，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column2 product，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column1 product，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column0 product，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 sum，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column2 product，不以小數近似替代。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column1 product，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column0 product，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator row1 absolute sum，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator row0 absolute sum，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(linfinity, 13, 14, 是, 否, uniform_bound_certificate)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: aaa89ba28e2d30b2135705670aaa7de241c2a1e5b12a44e57f5127705d2e28e7
  • candidate record SHA-256: c4ee8b7e0cc37c0adf1f782cc0f25c355d140e828cc4b4beac14c256311fd9a1
  • semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798
  • question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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